6.5 Berekenbaar of onberekenbaar?
Of iets te berekenen valt of niet, is al een oud probleem! Uit het voorgaande is al gebleken dat het samenhangt met oneindigheden. Maar dat niet alleen, het is ook een filosofisch probleem, een kort onderzoek toont al snel aan dat deze vraag meestal niet beantwoord wordt, maar dat men voor het ene standpunt of het andere kiest afhankelijk van waardoor het denken van een persoon gevormd is. Belangrijk is dus om vast te stellen of oneindigheden bestaan. Omdat als er alleen maar eindigheden zijn, mettertijd ‘alles’ berekenbaar zal moeten zijn. Dat is bijvoorbeeld wat voorstanders van ‘theorieën van alles’ ook hopen. Dat is natuurlijk niet voor niets, omdat afhankelijk van het antwoord op de vraag, wij wel eens een totaal ander beeld van het heelal kunnen krijgen. Verschillende ‘denkscholen’ in filosofie, wiskunde, maar ook in de fysica hebben sinds Newton het ‘oneindige’ uitgebannen. Denk bijvoorbeeld aan de ‘finitisten’, de naam zegt het al, men wil een einde aan berekeningen of begrippen. Een berekening moet op nul beëindigd kunnen worden (of op een exact getal). Dat eindige dingen als we ze berekenen in oneindige doorlopen wordt doorgaans niet prettig gevonden. Toch is het niet zo dat het pleit al gewonnen is door ‘finitisten’ of verwante denkrichtingen. Robert Kaplan’s boek, ‘Het paradoxale niets’, toont de worsteling .
Newton en het ‘ongeziene’, voorgoed verleden tijd?
Over Newton zegt hij: “Newton moest de laatste der magiërs zijn, omdat na hem het geziene niet langer naar het ongeziene verwees, maar (met de methoden die door heroïsche krachtsinspanningen waren ontdekt) naar zichzelf”. Deze opmerking geeft al aan dat zo’n uitgangspunt vroeg of laat moet vastlopen. Het ‘geziene’ verwijst niet langer naar het ‘ongeziene’, maar terug naar zichzelf. Dat geeft cirkelredeneringen, maar erger nog, een onderdeel van het ‘geziene’ bijvoorbeeld de mens, kan nooit een zinnige uitspraak doen over het geheel van het geziene, omdat hij er slechts een detail van is. Een detail verkeert nooit in de positie om een goed overzicht van het geheel te hebben, hooguit kan het detail vanuit zijn positie (beperkte) uitspraken doen over zijn naaste buren, andere details. Misschien heeft een detail een ietwat gunstige positie zodat hij ook nog enige relevante uitspraken kan doen over ‘de buren’ van ‘zijn buren’, maar dan heb je het zo ongeveer wel gehad. Dit overwegende is het vooruitzicht van finitistische denkrichtingen niet zo rooskleurig. Het geeft weinig hoop op afgeronde, volledige theorieën als ‘een theorie van alles’.
Er zit nog een ander knelpunt in ‘het geziene verwijst terug naar zichzelf’, je kunt dan jezelf wijsmaken dat alles wat je ‘ziet’, dat wil zeggen meet en berekent, ‘alles’ is. Daarbuiten is er ‘niets’ en zoals de titel van Kaplan laat zien, levert dat ook nog een paradox op. Paradoxen echter, we zagen het al eerder, ontstaan door verkeerde vooronderstellingen, of ze verwijzen naar onopgeloste vraagstukken. Newton bevorderde dit, al was het misschien niet zijn bedoeling, omdat hij voor ‘dingen die hij niet kon verklaren, geen hypothese aanvaardde’. Dat zei hij in verband met de zwaartekracht, dat hij deze aanvaarde zonder ze te kunnen verklaren. In zekere zin heeft dat al iets hypothetisch, al is het niet verkeerd. Een verhaal kan soms alleen maar kloppend, consistent zijn als er fundamentele verschijnselen in voorkomen, die je niet kunt verklaren maar ook niet kunt missen. De reden dat soms dergelijke verschijnselen onverklaard blijven kan komen omdat je tevreden bent met ‘hoe dingen werken’, maar niet als je, zoals Kaplan het noemt: “het begrip van de ‘Enige manier waarop dingen zijn’”, nastreeft. Dat betreft ‘dingen’, die zoals Kaplan het stelt: “die door de aard van hun wezen niet kunnen worden geformaliseerd”. Dat geeft al aan dat niet alles mogelijk is, als er ‘dingen’ zijn die ‘door de aard van hun wezen niet geformaliseerd kunnen worden’ dan wil dat zeggen dat we deze ‘dingen’ met al onze reken en wiskundige methoden niet ten volle kunnen duiden. Hierdoor weten we ook niet of ze eindig of oneindig zijn, hoewel het waarschijnlijk is dat ze oneindig zijn.
‘Knock out’ door een boemerang.
Formalisering is een methode die probeert om van alle vraagstellingen het bewijs te leveren, of deze ‘waar’ zijn. En er wordt dan gehoopt dat vraagstellingen die ‘waar’ lijken, vroeg of laat, het ‘bewijs’ te kunnen leveren. In feite is dat sinds Newton nagestreefd en nog zijn er velen die dat proberen. Zo’n instelling komt als een ‘boemerang’ terug, zie maar de geschiedenis van de ‘quantummechanica’, een vreemde mengeling van een ‘formalisme’ en ‘waarschijnlijkheid’. Het laatste geeft zeker niet aan, wat ‘de manier is waarop dingen zijn’. Het uitgangspunt, ‘het geziene’ is alles wat er is, verleidt bovendien tot formaliseren, de praktijk wijst echter uit dat, dat niet altijd mogelijk is. Een opmerking van Karl Popper , over de toepassing van wiskunde, geeft aan dat niet iedereen denkt ‘alles te weten kunnen komen’: “Hoe meer we over de wereld te weten komen, en hoe meer de wetenschap zich verdiept, des te bewuster, specifieker en uitgesprokener zal onze kennis zijn van wat we niet weten, onze kennis van onze onkunde. Want dit is in feite de belangrijkste bron van onze onwetendheid: het feit dat onze kennis slechts eindig kan zijn, terwijl onze onwetendheid noodzakelijkerwijs oneindig moet zijn.” Het gaat er hier niet om of we nu voor- of tegenstander van Popper zijn, maar deze uitspraak geldt heden ten dage meer dan ooit. Het geeft ook aan dat het niet verstandig is om gegevens en/of feiten die we niet plaatsen kunnen te negeren, omdat we zo erg graag een ‘Theorie van alles’ willen. In zijn boek ‘Ruimte en Tijd’ brengt Timothy Ferris deze gedachte in een groter verband: “Wetenschap is van nature open en onderzoekend, en maakt dagelijks fouten. Sterker nog, volgens de zuivere logica van het tweede onvolledigheidstheorema van Kurt Gödel zal dat altijd haar lot zijn. Gödels theorema toont aan dat de volledige geldigheid van elk willekeurig systeem, ook een wetenschappelijk systeem, niet kan worden aangetoond binnen dat systeem zelf. Met andere woorden: de geldigheid van een theorie kan niet worden vastgesteld zonder een toetsing aan iets buiten het systeem: iets dat voorbij de grenzen van een thermodynamische vergelijking ligt, of van de ineenstorting van een quantumgolffunctie, of van een andere theorie of wet. En als er zo’n ruimer referentiekader bestaat, wordt per definitie niet alles door de theorie verklaard”
Gaat het om onzekerheid, of reikt óns inzicht niet verder?
Inzicht dat niet ‘verder’ reikt noopt tot bescheidenheid, maar dat wil nog niet zeggen dat ‘alles’ per definitie onzeker is. Het is echter opmerkelijk, en dat wil ik u niet onthouden, dat de bijbel reeds enkele duizenden jaren geleden een beginsel bevatte dat sterk aan Gödel doet denken. In het bijbelboek Prediker, dat aan Salomo wordt toegeschreven, staat in hoofdstuk 3 vers 11 het volgende: “Alles heeft hij (bedoeld wordt de Schepper) fraai gemaakt op zijn tijd. Zelfs onbepaalde tijd heeft hij in hun hart gelegd, opdat de mensheid het werk dat de [ware] God heeft gemaakt, nooit van het begin tot het eind kan doorgronden.” Deze uitspraak en Gödels theorema zouden er toe kunnen leiden een passieve houding aan te nemen. Zo van ‘als het er zo voor staat’ wat voor nut heeft het dan om een onderzoekende geest te hebben? Dat is een ongenuanceerd standpunt dat niet door bijbel wordt bevorderd, al denken velen dat de bijbel iedere ontwikkeling afremt. Het is niet de bijbel die dat doet. Beide uitspraken geven veeleer aan dat er een onvoorstelbare variatie in kennis, en vooral begrip, mogelijk is. Een zo’n mogelijkheid is, het onderzoek naar de verhouding tussen ‘eindig en oneindig’, maar ook het ‘verplaatsen’ van referentiekaders, die mogelijkerwijs toetsing toelaten van een systeem, maar die zelf niet tot dat systeem behoren. Dat toegepast kan het wetenschappelijk onderzoek een geweldige impuls geven, en dat niet alleen, het kan ons ‘denken’ bijzonder verruimen.
‘Onmeetbare getallen of willekeurige elementen’ zouden géén verband met de rest hebben?
Hoewel Gödels theorema (en vele andere gegevens) belemmerend werken om tot een alles verklarende universele theorie te komen wil dit nog niet zeggen, dat als we onmeetbare of in onze optie willekeurige grootheden tegenkomen, wij er zonder meer vanuit mogen gaan dat deze geen betekenis in het heelal zouden hebben. John D. Barrow stelt het weliswaar als volgt :
“Het geloof in de eenheid van het heelal is diepgeworteld. Een beschrijving van het heelal die niet uitgaat van een eenheid maar van losse fragmenten, zou ons verder doen zoeken naar een wet die alle onderdelen tot één enkele bron zou herleiden. Daarbij spelen dan weer voornamelijk godsdienstige motieven een rol. Er is geen logische reden waarom het heelal geen onmeetbare getallen of willekeurige elementen zou bevatten die geen verband houden met de rest.” Een merkwaardig standpunt, als er al dergelijke getallen en/of elementen in het heelal zouden bestaan, dan is het ongelooflijk dat ze géén verband met de rest zouden hebben. Als we inbeschrijvingen, compleet of niet, van het heelal dergelijke getallen of elementen zouden tegen komen dan staan ze toch ergens voor? Bijvoorbeeld massa’s (zoals donkere materie), onbekende stralingen en/of bronnen, onbekende energieën (zoals waar men sinds kort rekening mee houdt, donkere energie). Is dan logisch om te veronderstellen dat ze géén verband houden met de rest van het heelal? Is zo’n standpunt niet veeleer een filosofisch ‘statement’ ten gunste van willekeur.
Dat er géén allesomvattende idee zou bestaan is nog nimmer bewezen.
Ook al kunnen we alle fysische en wiskundige gegevens onmogelijk tot een gesloten systeem, zonder schijnbare tegenstellingen of paradoxen herleiden, dan is het nog niet bewezen dat er géén allesomvattende idee achter schuil kan gaan. Te beweren dat, dat niet kan is pure filosofie en, zoals al eerder naar voren kwam, afhankelijk van wat voor filosofische invloeden wij ondergaan hebben. Als we ‘alle’ oneindigheden onder de loep zouden nemen, komen we wellicht tot de conclusie dat we tot op een bepaald niveau van diepgang een consistente, sluitende theorie hebben gevonden. Maar gaan we verder, dieper of verder terug in de tijd, dan kan het lijken dat die consistentie er niet meer is. We komen dan misschien onmeetbare getallen of willekeurige elementen tegen, die duiken dan echter op omdat we gewoon een groter referentiekader nodig hebben. Zo’n groter referentiekader vinden we bij verder onderzoek misschien wel of niet, dat is niets mis mee. Er is altijd winst in de vorm van toegenomen kennis.
Wat werd er veroorzaakt door het in de ban doen van infinitesimalen?
We begonnen dit onderwerp met Newton, en we gaan verder met hem en ontwikkelingen die na hem kwamen, waardoor er uiteindelijk relativiteits theorieën en de quantumtheorie kwam. Enerzijds bleek steeds weer dat door te formaliseren onvolledigheden aan het licht kwamen. Merkwaardig is echter dat anderzijds het uit de weg ruimen van infinitesimalen door Newton en anderen na hem, juist tot onvolledigheden heeft geleid. Newton deed wat Kaplan aanhaalt: “Het verwijderen van verwaarloosbaar (of zoals hij het noemde uitwisbaar) kleine termen uit zijn vergelijkingen.” Het is een beetje tegenstrijdig want zegt Newton ook, dat in de wiskunde: “de kleinste afwijkingen niet genegeerd mogen worden.” Dus gooit hij het over een andere boeg: “hij laat het hele idee van de infinitesimalen vallen, in de ruimte of in de tijd.” Newton zei hierover: “Ik beschouw de wiskundige grootheden (…..) niet als bestaand uit zeer kleine deeltjes, maar als beschreven door een voortdurende beweging , krommen worden in feite voortgebracht door voortdurende bewegende punten(…….)”. Dat leidde tot onoplosbare problemen en later tot de quantumtheorie. Niet iedereen had vrede met Newton’s ideeën, wel was er een algemene afkeer van infinitesimalen, die tot in onze tijd voortduurt. De oplossing kwam, zo dacht men, van het begrip limiet: “Een handeling (het proces van vermindering) wijst naar een object (deze limiet), maar de componenten van de handeling en het object zijn van dezelfde soort: getallen. We gaan nu routinematig zover dat we dit aanwijzen met een is gelijkteken weergeven, alsof het gaan en er zijn hetzelfde waren.” Aldus Kaplan. Het gaat er niet om te ontkennen dat ‘het gaan’ (het berekeningsproces) en ‘het zijn’ (het doel waar het berekeningsproces toe leidt) vanzelfsprekend heel veel met elkaar te maken hebben. Op een juiste manier ‘het gaan’ beschrijven, kan tot een beter begrip van ‘het zijn’ leiden, maar dan niet door het ‘is gelijkteken’ van een formeel systeem. We zagen het al eerder, dat leidt naar ‘het terug verwijzen van zichzelf’, met alle nadelen van dien. Het ‘is gelijkteken’ stelt ‘het gaan’ gelijk aan ‘het zijn’, het ‘wezen van de dingen’ Kaplan noemt het ‘de manier waarop dingen zijn’. Natuurlijk is het zo dat ‘het gaan’ van de dingen onverbrekelijk verbonden is met ‘het zijn’, maar we moeten niet vergeten dat wat wij ‘het gaan’ noemen veelal geformaliseerde systemen zijn die, zo hopen wij althans, het wezen van de dingen blootleggen.
Denken dat iets berekenbaar is, verwijst niet altijd naar fundamentele kennis.
Wat zou nu het nadeel zijn van het ‘uitwissen’ van de infinitesimalen en om op limieten over te gaan? Wel door het is gelijkteken lopen we het risico dat we denken dat dingen berekenbaar zijn, die het in werkelijkheid helemaal niet zijn. We nemen de dingen slechts ‘hoe ze zich aan ons voordoen’, daardoor kan het zijn dat een heel gebied van achterliggende kennis verloren gaat. Het is als met een apparaat, een wasmachine, computer of wat voor apparaat maar ook, we laten ze werken, beschrijven de werking, ‘het gaan’, en zeggen dan dat is ‘het zijn’, het ‘is gelijkteken’. Dat betekent dat we het hele apparaat, ‘het wezen van het apparaat’ zogezegd, niet kennen. We vragen ons absoluut niet af hoe zo’n apparaat tot stand is gekomen. Die wetenschap is nodig om ‘het zijn van het apparaat’, of liever van ‘de dingen’, want daar gaat het tenslotte om, te weten te komen. Het: ‘is gelijkteken’ is dus misleidend. Men heeft lang gedacht (en Kaplan hoopt dat denk ik nog steeds) dat formele systemen tot een nauwkeurige beschrijving zouden leiden van ‘hoe dingen zijn’. Kaplan zelf geeft zijn twijfels weer : “Een merkwaardige eigenschap van het formaliseren van een groot samenhangend lichaam van wiskundige inzichten is, dat de formele bewerking, – een stuk taal – geen unieke referentie kan hebben: zij kan worden gepresenteerd op allerlei essentieel verschillende manieren (……….). Dit betekent dat wij uit de overvloed van modellen niet zomaar de enig zaligmakende manier waarop Dingen zijn kunnen selecteren.(…………….) Misschien vertoont onze manier van formaliseren gebreken. Hij is misschien ook te beperkt.” Om dat laatste gaat het, we komen uit bij Gödel. Kaplan gelooft niet in Gödel. Maar eerst laten we Kaplan verder aan het woord: “Het valt niet te ontkennen dat rijke formele systemen grote voordelen hebben. Ze verjagen foutieve inzichten en zetten de inzichten die coherent zijn met onze axioma’s om in een taal waarin we er met vakgenoten over kunnen praten. Nieuwe linguïstische structuren kunnen hier tezamen komen. We zouden zelfs zover kunnen gaan te beweren dat hun ambiguïteiten goedaardig zijn, aangezien dat wat door één belichaming van het systeem wordt verborgen, door het andere kan worden ontsluierd, net zoals een probleem algebra kon opleveren die de vleierij van de meetkundige weerstond.”
Of hij het nu leuk vindt of niet, in feite zegt hij, Kaplan, hier hetzelfde als Gödel: Uit ieder systeem kan minstens een stelling worden afgeleid, die door dat systeem niet bewezen kan worden.” Kaplan omzeilt dat door te zeggen: “Wat door een belichaming van het systeem verborgen wordt, kan door het andere ontsluierd worden”. Wat daar uit volgt is echter dat er weer een onderdeel verborgen wordt in die andere belichaming, zodat je dezelfde regel nog eens moet toepassen waardoor het systeem weer een nieuwe belichaming krijgt met opnieuw een verborgen deel, enz. enz. enz…………..Gödel!
De dingen ruimer leren zien dan met formele systemen mogelijk is.
Als formele systemen géén uniek referentiesysteem hebben, dan is dat al een waarschuwing dat ze nooit op een uitputtende manier kunnen beschrijven ‘hoe de Dingen zijn’. Het is echter voorbarig om dan maar de conclusie te trekken: “Dat er helemaal geen unieke manier is waarop de Dingen moeten zijn”. Als we afstappen van het idee dat er exacte formele systemen zijn en het ruimer zien door verworven vaardigheden te gebruiken en verder uit te bouwen, zoals Cantor’s verzamelingen, Gödel’s stellingen, fractale en andere wiskunde, dan kunnen we een indrukwekkende benadering van, en een mate van inzicht verkrijgen in, de ‘unieke manier waarop de Dingen zijn’. Dat is een betere manier dan die weg die het ‘gaan’ en het ‘zijn’ met een ‘is gelijkteken’ aan elkaar gelijk stelt. Dat wordt, zagen we al, bewerkstelligd door het in gebruik nemen van een ‘limiet’, een grenswaarde die aangeeft: ‘tot hier en niet verder’. Kaplan zegt hierover: “De beoefenaars van deze kunst bouwden en bewoonden het immense, bouwvallige paleis der rekenkunst, ook al werden de bakstenen van zijn funderingen opnieuw gevoegd en werden er zwaardere steunbalken aangebracht om de verzakking te compenseren”. De vraag rijst dan, waarom het een bouwval genoemd kan worden. Is het slijtage zodat het gerenoveerd kan worden of zitten er fundamenteel bouwkundige fouten in? In het geval dat het laatste waar is, dan is het niet zinvol om met zwaardere steunbalken te werken, zeker niet als deze dezelfde fundamentele gebreken hebben, beter is het dan de zaak af te breken. De waardevolle elementen opnieuw gebruiken in een andere context, gecombineerd met nieuw ontdekte materialen.
Een ‘kunst’ of een ‘kunstje’?
Zoals gezegd ging het de beoefenaars van ‘deze kunst’ om het kunnen gebruiken van een limietwerking. Het woord limiet zegt het al ‘een grens stellen’. In dit geval wat ‘de rekenkunst’ betreft. Het begrip heeft echter een vergaande invloed gekregen op de fysica. In werkelijkheid gaat het de meesten om het begrip ‘nul’, omdat het verschil tussen de limiet en het eigenlijke doel, op nul gesteld wordt. Tegelijkertijd heeft dat zeer een negatieve uitwerking, omdat daardoor oneindigheden worden uitgebannen, of op zijn minst als onwenselijk beschouwd. Zoals gezegd speelt ‘het ongeziene’ daardoor ook geen rol meer, maar alles draait om ‘het geziene’.
Duizelig worden van Gödel, is dat wel nodig?
Wat betreft het exact berekenen van het ‘geziene’ stuit je toch op problemen in verband met het ‘tot op de kleinste eenheid’ berekenen. Daarom heeft men die ‘nul’ dan ook nodig. Wat laat Kaplans betoog hierover zien? Het blijkt dat er nergens overtuigend wordt aangetoond dat ‘geziene’ systemen exact op nul uitlopen. De vaagheid die aan de ‘infinitesimalen’ kleeft (de reden dat vooral formalisten er een hekel aan hebben) weet hij (e.a.) niet te overwinnen met zijn ‘nulfilosofie’ Ergens zegt hij: “Het is alsof de wiskunde zijn eigen onzekerheidsbeginsel zou hebben.” Dat vindt hij niet prettig, want ‘dat onzekerheidsbeginsel’ is in feite Gödels theorema, en dat wijst hij af. Zijn gezondheid lijdt er blijkbaar ook onder: “De theorema’s die de Oostenrijkse logicus Kurt Gödel meer dan een halve eeuw geleden opstelde. Ze gaven het soort ziekmakende draaiing aan onze onwetendheid, als die van een bal met effect die voor de honkbal knuppel wegdraait en je een duizelig gevoel geeft. Want terwijl we altijd al wisten dat onze zekerheden een poel van licht in de duisternis waren, geloofden we ook dat die poel was gegroeid en nog steeds groeide: die helderheid zou zich verspreiden totdat de duisternis niet meer dan een verre horizont was” . Kaplan werkt graag met illustraties, en daar is hij goed in maar deze illustratie geeft eerder zijn eigen onbehagen weer dan dat ze illustreert wat de reële inhoud van Gödels theorema’s is. Deze uiting weerspiegelt veeleer het optimisme dat de logisch positivisten rond 1900 tot de jaren dertig hadden, we kunnen hier denken aan Hilbert en aan Russell/Whitehead. Kaplans eigen woorden geven de wankele basis al aan: “We geloofden in onze zekerheden die een poel van licht waren in de duisternis. Voor die poel van licht die zich als maar zou uitbreiden, zou de duisternis mettertijd niet meer ‘dan een verre horizont’ zijn” De woorden ‘geloofden’ en ‘zou’ geven al aan dat hijzelf er niet zo zeker van is (was) en een ‘ziekmakende draaiing die je een duizelig gevoel’ geeft, treedt nogal eens op als je ‘zekerheden’ géén ‘zekerheden’ blijken te zijn. Dat lijkt dan heel jammer, maar het kan een gezonde ontwikkeling zijn. In zijn laatste hoofdstuk loopt het voor hem allemaal op ‘niets’ (nul) uit, vandaar de titel van zijn boek ‘Het paradoxale niets’.
Loopt alles op ‘niets’ uit, en is dat dan een paradox? Of geven we het ‘niets’ een rol die het niet verdiend?
Waarom die titel? Wel, omdat die paradox van het niets wel het hele universum heeft voortgebracht, inclusief de mogelijkheid dat Kaplan er een boek over kon schrijven. Maar herinnert u zich nog de betekenis van het begrip paradox? Zoniet dan kijk er deel 3.6 nog eens op na. We moeten Kaplan nageven dat hij de ‘voor en tegens’ secuur afweegt, het hele boek door. Hij eindigt met het volgende: “Ik schrijf dit te midden van dingen, midden in de tijd. De wereld breidt zich aan alle kanten uit, over assen die ontspringen uit een rustig centrum dat bij vlagen wordt gezien als zelf. Een zelf dat, zoals de sneeuwman van Wallace Stevens, luistert en beschouwend kijkt naar: ‘Niets wat er niet is en het niets dat is.’ ” Als we nu menen dat, dat bewezen is, dan slaan we de plank mis. Het is voor het grootste deel filosofie. Het doet eerder denken aan ’n laatste schaduw van het nihilisme of aan de wanhopige uitingen van het existentialisme van Sartre en medestanders. Misschien met dat verschil, dat er nog een vage twijfel overblijft: ‘het niets dat is’. Dat het paradoxaal is komt voort uit onkunde, daar is wat aan te doen. ‘Niets’ kan helemaal niet ‘zijn’, hij zegt het zelf al ‘Niets wat er niet is’, dus als je gelijk nà zo’n uitspraak stelt: ‘Het niets dat is’, dan red je, je er niet uit om het dan maar een paradox te noemen! In werkelijkheid koppel je twee standpunten die volkomen tegenstrijdig zijn. Die twee standpunten zijn inconsistent, dat geeft al aan dat je op zo’n manier niet tot een oplossing kán komen.
Het ontkennen van werkelijkheden die ‘niet gezien’ worden.
Erger is het ontkennen van werkelijkheden die niet ‘gezien’ worden (het ‘ongeziene’), maar duidelijk weerspiegeld worden in het ‘geziene’ Als wij door gebrek aan inzicht tot de conclusie: ‘het niets dat is’ menen te moeten komen, dan kunnen we ons afvragen of het niet verstandiger is om ‘het niets’ te schrappen en te spreken over datgene ‘wat is’, als de achterliggende bestaansgrond van het ‘geziene’. Kaplan werpt op: “dat logici, verbazing, dat wil zeggen je afvragen ‘waarom de dingen zijn zoals ze zijn’, ‘n ziekte noemen, getob en gepieker. Het is een tautologie als: ‘waarom is, wat is?’” Een tautologie is tweemaal hetzelfde zeggen, vanuit hun stelsel van logica kan dat wel waar zijn, maar het gaat voorbij aan de behoefte van mensen om te begrijpen waarom de ‘Dingen zijn, zoals ze zijn’. De vraagstelling zou eigenlijk kunnen luiden: ‘waarom is er iets in plaats van niets’, hoewel die vraagstelling misschien ook angels en klemmen heeft, want als het uitgangspunt is: ‘wij zijn er’, is het moeilijk voor te stellen dat er ‘ook niets zou kunnen zijn’. Zo kunnen we ons het eindeloos moeilijk maken, want vervolgens kun je weer vragen: ‘kan niets wel zijn’, omdat ‘zijn’ altijd met bestaan te maken heeft. Tal van filosofen hebben er de tanden op stuk gebeten, is het dan niet veel fundamenteler dat mensen dergelijke vragen gewoon stellen omdat ‘zij willen weten waarom zij bestaan, en of dat zinvol is’. Wie kan ons verbieden dergelijke vragen te stellen? Moeten het filosofen zijn die voor ons bepalen ‘welke vragen’ wij mogen stellen? Of logici die het een ziekte, getob en gepieker noemen? Dat gaat toch wel te ver. Een van die filosofen, Wittgenstein, stelde het ooit zo: ‘filosofie is niets meer dan de juiste vragen stellen’, een redelijk uitgangspunt, maar als hij ons tegelijkertijd beperkt, dan is het een slechte zaak. Wat blijkt nu het geval met Wittgenstein te zijn? Hij ontwierp twee verschillende logische systemen, die niet consistent met elkaar zijn. Ongetwijfeld zal hij het goed bedoeld hebben, maar het toont aan dat ook ‘logische systemen’ hun beperkingen hebben, weer Gödel dus.
Kijken naar, of kijken langs?
Over Wittgenstein zegt Kaplan het volgende : “(hij) gaf ons zijn genummerde taalexercities om ons te leren niet te kijken naar, maar te kijken langs. Toch blijven wij als katten naar de wijzende vinger staren”. Een absurde beperking, wij moeten niet blijven staren naar die wijzende vinger, maar erover nadenken wáár die vinger naar wijst. Bovendien als we de raad ‘te kijken langs de dingen’ toepassen, dan zouden we als blinden en dwazen staren in een leegheid, die door extreme geesten als ‘hét bestaan’ wordt gezien. We zijn dan weer terug bij af, daarom is het beter naar de ‘dingen te kijken’ en erover nadenken, want door dat te doen gaan we begrijpen wat de achtergrond is van ‘de dingen’ en dat lukt niet door ‘te kijken langs’. Dus als we kijken náár (niet als katten alleen maar staren) dan kijken we niet ‘langs’ de dingen, maar we leren ‘zien’ wat er ‘achter’ de dingen zit! Het draait steeds weer om een verlangen naar compleetheid, een verlangen dat ‘een illusie’ is zegt Kaplan (naar Kant): “Het probleem is dat hoe we ons weefsel ook maken, er altijd draden loshangen die naar nog vroegere oorzaken en nog latere gevolgen leiden. Onze geest wil geen rijen stippen om deze gaten op te vullen, maar alleen een compleet doek, een beeld met een rand eromheen. Dus verzinnen we een raamwerk dat we niet kunnen zien om in onze behoefte aan compleetheid te voorzien. Dit is het raamwerk van het zijn waarbinnen ons begrip werkt, waar wij onze ervaringen kunnen plaatsen en van zingeving voorzien. Deze compleetheid is een illusie”.
Loshangende draden, maar zeker géén rafelwerk.
Natuurlijk is deze compleetheid een illusie, maar op een andere manier dan Kant (en Kaplan) denkt. Dat die draden loshangen en naar nog vroegere oorzaken en nog latere gevolgen leiden is een realiteit. Een realiteit die, indien aanvaard, een heel andere kijk op de ‘werkelijkheid’ mogelijk maakt. Het weefsel wordt dan een weefsel dat niet af is, niet compleet, maar daarom nog niet uit illusoire draden bestaat. Dat deel van het weefsel dat wij zien en in zekere zin geweven hebben, kan een heel goed beeld geven van de werkelijkheid. Maar altijd in het besef dat die werkelijkheid zich voortzet in die zogenaamde loshangende draden, terwijl het ons van tijd tot tijd lukt om een of meer van die loshangende draden in het bestaande weefsel te verwerken. Indien het zo aangepakt wordt, zullen we zien dat het weefsel niet alleen groter maar ook mooier wordt. Met meer diepgang en consistentie dan wij ooit voor mogelijk hielden.
Het begrip ‘berekenbaar’ is niet absoluut!
Hoe valt een bovenstaand resultaat nu te bereiken? De aanhef van dit deel was: ‘Berekenbaar of onberekenbaar?’ Een eerste vereiste is het begrip ‘berekenbaar’ niet absoluut te nemen, maar voor de daartoe geëigende gebieden te gebruiken. Daarbij moet altijd in aanmerking genomen worden, dat wat wij menen te kunnen berekenen overloopt in onberekenbare gedeeltes. Het ‘geziene’ loopt over in het ‘ongeziene’, we kunnen ook zeggen het ‘eindige’ in het ‘oneindige’. Diverse voorbeelden hiervan kwamen wij al tegen, en zullen we tegen blijven komen. Welk systeem wij ook beschouwen, of het nu wiskundig of fysisch is, we moeten af van het denkbeeld dat een formalistische beschrijving ’n voltooid beeld geeft, in het besef dat een voltooid beeld niet mogelijk is. Dat betekent niet dat het beeld dat wij kunnen krijgen, per definitie zonder waarde zou zijn. Als wij voor het eerst een grote stad zouden bezoeken, dan zou het beeld daarvan in het begin vanzelfsprekend zeer beperkt zijn, mettertijd als wij ons in de complexiteit verdiepen dan zal het inzicht in heel wat facetten van zo’n stad geleidelijk aan groter worden. In alle bescheidenheid moeten wij vanwege de menselijke aard beseffen dat zo’n inzicht nooit geheel compleet kan zijn. Nu is dit maar een illustratie en het heelal zit wel wat anders in elkaar dan een stad. Wat het geheel van de ‘Dingen’ betreft lijkt er veel op te wijzen dat we niet om de theorema’s van Gödel heen kunnen.
Is het nu wel Gödel, of niet?
Kaplan gaf al eerder aan dat Gödel niet zijn grootste liefde is, en helaas komen we van tijd tot tijd afkeurende oordelen over hem tegen, die worden meestal geuit door degenen die tegelijkertijd een afkeer van oneindigheden hebben. In de volgende aanhaling van Kaplan komt door de bewoordingen enerzijds weer een mate van afkeer naar voren, en anderzijds zit er toch ook een erkenning in: “Gödel bewees door een staaltje doldrieste en dubbel gelede mentale acrobatiek, dat er stellingen zijn waarvan de juistheid binnen ’n voldoende rijk consistent formeel systeem niet (alleen maar door bewijs) kan worden aangetoond (…………). Ze zouden kunnen worden bewezen, niet binnen het systeem, maar in een voldoende natuurlijke uitbreiding daarvan (hoewel dit weer aanleiding zou kunnen geven tot nieuwe onverifieerbare maar toch juiste stellingen, op hun beurt weer te bewijzen door de uitbreiding van het nieuwe systeem, en dit tot in het oneindige)”. Je kunt natuurlijk zeggen Gödel schiet ook te kort, want er komen steeds weer nieuwe stellingen die telkens opnieuw de uitbreiding van het systeem vereisen. Dat is echter juist het uitgangspunt en het is opmerkelijk dat Kaplan het heeft over nieuwe stellingen, al zijn ze dan niet verifiëerbaar binnen het bestaande systeem, het toch juiste stellingen zijn. Zo’n juiste stelling zou als een loshangende draad van het weefsel kunnen zijn, die mettertijd in het weefsel opgenomen kan worden. Met alle respect, ons weefsel is toch al vele malen rijker dan in Newtons tijd. Is dat geen winst?
Nul lijkt waardevoller dan ‘het niets dat is’.
Om die winst op zijn juiste waarde te kunnen schatten, moeten we ons nog met het begrip ‘nul’ en ‘Het niets dat is’ bezighouden. Het kan nooit kwaad redenaties, waarvan we misschien intuïtief aanvoelen dat er iets niet klopt, volledig na te gaan. Dat kan helpen om dingen helder te krijgen. De opzet van Kaplan over het begrip ‘nul’ leidt uiteindelijk tot de conclusie: “Het niets dat is’. Merkwaardig genoeg geeft hij ook materiaal aan waaruit blijkt dat ‘nul’ geen nul is . Op een bepaalde moment schrijft hij over ‘nul als een draaipunt’ in verband met negatieve en positieve getallen, die zich ieder van ‘nul verwijderen’, dat dus niet langer een eindpunt is, maar ‘het draaipunt van de telling’. Nul zo beschouwd geeft heel wat ruimte om verder te denken. We hoeven dan niet langer ‘het geziene’ op een krampachtige manier op ‘nul’ of ‘niets’ te laten uitlopen, integendeel ’n hele wereld van getallen (en wiskunde) wordt aanvaardbaar als nul inderdaad ‘een draaipunt’ is. Negatieve, imaginaire, surreële en hoe men getallen ook maar noemt, ze krijgen allemaal betekenis en geven niet langer een wereld van wiskundige ‘trucjes’ weer. Maar in dit licht gezien wordt het langzamerhand duidelijk dat er een complementaire ‘wereld’ is waarvan het ‘geziene’, onze realiteit, afhankelijk is, ja zelfs zonder die niet kan bestaan. We zullen ons dus verder met nul bezig houden en zien of ‘nul’ inderdaad uitloopt op ‘niets dat is’ of dat het beter is nul als een ‘draaipunt’ te aanvaarden.
Ziet de realiteit eruit als een gebarsten en gebladderd masker?
Kaplan heeft het over onze kijk op de natuur als: ‘Als zou er een masker van theorie over het hele gezicht van de natuur liggen. Weliswaar barst en bladdert het masker’. Zouden we door die barsten en bladders de ‘natuur’ misschien wat beter kunnen benaderen? Niet dus, er wordt gezegd: ‘toch dringen nullen op vele plaatsen als oogkassen door dit masker heen’. Die nullen als draaipunten opgevat, zouden kunnen helpen in plaats van met een ‘masker’, dat verhult, een redelijker kijk op ‘het gezicht’ van de natuur te krijgen. Als we teruggaan in de geschiedenis dan wordt het duidelijk dat de ‘nulvisie’ geleidelijk aan als een dogma in sommige filosofieën én in fysica is binnengeslopen. We komen dan Napier tegen: “De elementairste natuurwetten zijn geschreven in wat Napier ‘vergelijkingen met niets’ noemde”. Daar vandaan loopt een rechtstreekse lijn naar ‘moderne inzichten’: ‘De behoudswetten, want daar gaat het om, zeggen dat de totale energie (of lading, impuls of materie) in een systeem ongewijzigd blijft: zijn veranderingen leiden tot uitwisselingen die samen nul opleveren’. Natuurlijk de behoudswetten kunnen we niet aan de kant schuiven. Eerder belichtte ik dat ze wel genuanceerd kunnen worden, het gaat om gesloten systemen en het probleem is dat het heelal als een gesloten systeem wordt opgevat. Daar is wel wat op af te dingen, maar goed wat betekenen die behoudswetten nu een maal? Niet meer dan dat er in een gesloten systeem, bijvoorbeeld het heelal, alle veranderingen tezamen niet tot een groter of kleiner totaal aan energie (e.a. waarden) leiden. Nul heeft hier eigenlijk niets mee van doen. Niettemin menen velen dat de tegengestelde waarden, zoals positieve massa en negatieve zwaartekracht, omdat ze tegen elkaar wegvallen, tot een totale nulenergie voor het heelal uitloopt. Daardoor wordt er gedacht dat een heelal kan ontstaan uit niets, een heelal ‘ex nihilio’ in de woorden van Alan Guth. Met evenveel recht kun je stellen dat het op een evenwichtstoestand voor het heelal duidt, zodat het niet in elkaar stort maar ook niet zodanig uitdijt dat er geen tijd was om grote structuren te ontwikkelen.
Kan ‘het niets’ dat eigenlijk niet bestaat, onstabiel zijn?
Een heelal, zo betoogt Guth , verkregen uit niets, een quantumsprong vanuit, wat men denkt ‘het niets dat is’, een ‘niets’ dat onstabiel zou zijn. Dat onstabiele ‘niets’ springt door een quantumsprong over tot iets: ‘Het huidige heelal’, (tot de voorwaarden ervoor). Waarlijk ‘het grootste konijn aller tijden uit de hoed’. We weten echter allen dat, dat op een slimme manier gesuggereerd wordt dat waar de hoed eerst ‘leeg’ was, er nu een konijn kán uitspringen. Zo iets speelt er ook met dat ‘onstabiele niets’, er wordt gesuggereerd dat er helemaal ‘niets’ was. Niets is echter ‘niet iets’, terwijl iets dat onstabiel kán zijn wel degelijk ‘iets’ is, namelijk onstabiele vacuümenergie waar Guth overigens ook vanuit gaat i.v.m. zijn ‘inflatietheorie. Om niet in de strik met zijn eigen uitgangspunt te geraken, noemt hij het dan ook ‘onecht vacuüm’, omdat binnen het inflatie model er toch ergens energie vandaan moet komen om het plaatje rond te krijgen. Op zich is er niets op tegen om, ook al weten we niet direct hoe, iets dat nodig is in te voeren om een model te verklaren, maar het is inconsequent om dat niet erkennen. We denken hier aan Newton, het was noodzakelijk om zwaartekracht in te voeren, maar hij was zo eerlijk om te vermelden dat hij het niet kon verklaren. We hadden het dus over behoudswetten en er werd (en wordt) dus gezegd dat de veranderingen in een systeem tot uitwisselingen leiden die samen tot nul opleveren. Dat ‘nul’ is niet meer dan een draaipunt tussen ‘tegengestelde’ waarden. ‘Deze wetten en hun gelijken’ zegt Kaplan: ‘zijn geen decoratieve snijwerkjes op de pilaren die ons begrip van de wereld omhooghouden: Ze zijn het materiaal van de onopvallendste baksteen, die ons als enige in staat stelt een gedetailleerd beeld naar de gelijkenis der dingen te bouwen”. Waarvan de textuur daardoor voor de helft uit deze nullen bestaat. Dat is een breekpunt in de algemene visie, het ‘iets dat is’ bestaat voor de helft uit nullen ‘het niets dat is’. Dat is strijdig met die andere opvatting, ook door Kaplan aangehaald: ‘nul als draaipunt van de telling’.
Het ‘geziene’ niet langer verklaren met het ‘ongeziene’
Dat draaipunt is dus geleidelijk aan ‘om zeep’ gebracht, dat kwam omdat men ‘het geziene’ niet langer trachtte te verklaren met het ongeziene. We hoeven hierover niet verbaast te staan, dat heeft een lange voorgeschiedenis en kwam in de zogenaamde ‘Verlichting’, de ‘eeuw van de rede’, tot een hoogtepunt. Individuele personen hadden al eerder dergelijke gedachten, maar nooit eerder in de geschiedenis hadden zulke ideeën zo’n grote invloed. Was het echter wel ‘Verlichting’? Alles wijst erop dat er eerder meer duisternis viel op het ‘ongeziene’ dan ooit tevoren. Weliswaar werd van dat ‘ongeziene’ niet veel meer begrepen dan wat er door stelsels van religieuze, mystieke en metafysische gedachten en symbolen onder de mensen leefde. Dat alles bevatte veel bijgeloof en fantasie. Het was lang niet altijd fundamenteel, terecht kwamen sommigen daardoor in het geweer. Het resultaat was veelal dat ‘het kind met het badwater’ werd weggegooid. Deze zogenaamde ‘Verlichting’ begon de mens centraal te stellen. Goed wij zijn mensen, denken menselijk en het lijkt soms moeilijk voor te stellen dat ‘het’ niet om ons draait. Dat is nog te begrijpen, maar erger is dat het uitloopt in het idee, dat wat wij denken hoe de ‘dingen’ zijn, ‘het enige’ is wat er is. Dat denken van ons, zo toont de geschiedenis aan, is al vele malen stuk gelopen. Beperkte (soms bekrompen) stelsels maakten plaats voor nog beperktere, of minder beperkte stelsels. In iedere tijd moest men de tekorten van eigen of vroegere tijden erkennen. ‘De mens is de maat van alle dingen’ is een veelgehoorde uitspraak. Als we nu zo naïef zijn om te denken dat ‘wetenschap’ boven zulke invloeden staat, dan is het zinvol om wetenschappers uit verschillende tijden met elkaar te vergelijken, dan zullen we tot de slotsom komen, dat hun ‘denkpatronen’ niet gevrijwaard waren (en zijn) van filosofische, religieuze en zelfs mystieke invloeden. Dat kan wellicht ook niet en is misschien ook niet nodig, maar wel moeten we oppassen, dat ‘onze’ achtergrond ons zodanig beïnvloed dat: ‘wat wij denken, het gedetailleerde beeld naar de gelijkenis der dingen is’, hét beeld naar de gelijkenis de dingen is.
De eventuele waarde van ‘niets dat is’ onderzoeken.
We keren terug naar Kaplan en volgen enkele overwegingen, die tot ‘niets dat is’ zouden kunnen leiden:
“We komen bij Newtons tweede bewegingswet, die stelt dat kracht gelijk is aan de massa van het voorwerp maal de versnelling: ‘F = ma’. Dit plaatst de drie termen in een wederzijds gedefinieerde dans, die ernstige problemen voorspelt in het analyseren van dergelijke krachten. Wat d’Alembert in feite deed, was Newtons vergelijking herschrijven als F – ma = 0. en vervolgens het begrip ‘ – ma’ zelf als kracht te beschouwen, ‘de kracht van de traagheid’ : 1= – ma. Dus nu hebben we F + 1 = 0”
Een glibberige conclusie, maar niet onwaar, want ‘F is gelijk aan ma’ , dus van elkaar afgetrokken ‘F min ma is nul’ Kaplan stelt wel dat door ‘F plus een is nul’ ’n evenwicht wordt veroorzaakt. En dat is het ook, er is een duidelijk evenwicht tussen krachten en hun tegengestelde, anders zou het heelal allang ingestort zijn. Daar doet de quantumtheorie niets aan af, ook niet als we de ‘waarschijnlijkheden’ serieus nemen, omdat deze op macroscopisch niveau volkomen genivelleerd worden. Evenwicht, dus is er niets aan de hand? Of toch wel? De hele kwestie wordt aangegrepen om aan te tonen dat daarbuiten, buiten F – ma = 0, niets is. Het wordt vergeleken met dubbel boekhouden, de balans wordt met een kleine ingreep op nul gesteld. Als dit als illustratie klopt dan staat de zaak er niet zo goed voor, want als je de dingen met ‘een kleine ingreep’ recht moet trekken, dan kun je beter van een schaduwboekhouding spreken en dat soort tactieken staan niet zo goed bekend. Daar komt nog bij dat beide boekhoudingen niet precies gelijk zijn. De vraag rijst dan, welke waarde heeft ‘die kleine ingreep’? Het gaat natuurlijk te ver om de vergelijkingen van Napier en d’Alembert frauduleus te noemen. Het zullen ongetwijfeld goed bedoelde pogingen zijn geweest om grip op ‘de dingen’ te krijgen. Niettemin moeten we als we de balans opmaken van ‘De enige manier waarop Dingen zijn’, natuurlijk de boekhouding niet kunstmatig op ‘Nul’ stellen, maar onderzoek doen naar de reden waarom we, om de dingen rond te krijgen, zo’n ‘kleine ingreep’ zouden moeten doen.
Kaplan erkent dit ook wel, we moeten hem nageven dat hij niet zonder meer op ‘Het niets dat is’ uitkomt. Hij zegt erover: “Men zal terecht over deze behoudswetten en over het ‘Principe van d’Alembert’ opmerken dat doordat ze de onderlinge relatie, van dingen zijn en niet de dingen zelf, ze niet daadwerkelijk daarginds zijn en de nullen waar zij betrekking op hebben dus ook niet”. Een terechte opmerking, zo’n kleine tweehonderd jaar later is dat nog uiterst actueel. Het lijkt erop dat Kaplan heen en weer switcht tussen voorgaande opvatting en de ontkenning dat er achter die nullen nog heel iets anders is. Het voorgaande geeft dus zoals Kaplan zegt, slechts de onderlinge relatie van de dingen aan, maar niet de dingen zelf.
Hulpmiddelen na gebruik weggooien.
Sommige methoden ziet hij (en dat is niet ongewoon) louter als wiskundige metaforen, hulpmiddelen voor het begrijpen en rekenen maar die, als bijvoorbeeld de ‘virtuele deeltjes’, verdwijnen na de berekening voltooid te hebben. Zo ook beziet Kaplan de: ‘differentiaalrekening, die ons helpt om de helling van een kromme op een punt te bepalen, maar die eveneens verdwijnt als de berekening uitgevoerd is’. Het resultaat is dus mooi afgerond, er zijn geen twijfels meer over de berekeningen, of niet? Toch is er twijfel of dat wel zo is: “Zou er desalniettemin een membraan van buiten kunnen zijn dat een patroon van nulporiën heeft – niet zo ver weg als de kosmos, maar voldoende ver weg om tot ‘Daarginds’ te behoren”. Kijk dat is nu een aardige opmerking, poriën zijn gaten in de huid. Ze leiden niet tot ‘niets’, maar tot een wereld die afgesloten is van de buitenwereld. Dus nulporiën kunnen niet opgevat worden als ‘gaten in niets’ maar als draaipunten, als overgangen in de wereld van ‘het geziene’ naar de achterliggende fundamentele wereld van ‘het ongeziene’.
We gaan hier even terug naar de opmerking over de ‘differentiaal rekening’, die helpt om de helling van een kromme op een punt te bepalen, maar die verdwijnt als de berekening eenmaal is uitgevoerd. Heel opmerkelijk is dat Kaplan zegt dat de ‘differentiaalrekening’ slechts verdwijnt als de berekening op nul uitkomt. En hoe komt die op nul uit? Met behulp van wat ‘kunstgrepen’, het ‘apenspul’ zoals hij het noemt . Uit het betoog blijkt dat dergelijke methodes alléén werken als we die ‘lastige infinitesimalen’ negeren en uitgaan van limiet berekeningen. Wat we telkens weer zien is, dat het verkleinen tot nul als een legale methode gepresenteerd wordt en dat is het tot op zekere hoogte ook in verband met het praktische gebruik er van. Maar indien we op ‘essentieel begrijpen’ uit zijn, dan schiet de methode tekort.
De ‘helling van een kromme’ berekenen en het gebruik van nul.
We volgen Kaplan bij zijn bespreking van ‘de helling van een kromme’. Terecht merkt Kaplan op: “Wat is nu de helling van een kromme? Hoe kan nu een kromming een helling op een punt hebben? Planeten, granaten volgen gebogen banen, hoe kunnen we die banen perfectioneren? Wat is de richting van een baan? Een deel van het probleem zit in de meetkunde. Een rechte stijgende lijn, een heuvel op bijvoorbeeld heeft een helling. Een kromme echter heeft op ieder punt ’n andere helling, zodat de helling continu verandert, ja zelfs op zich niet te bepalen”. Punten, we zagen dat al eerder, brengen zo hun eigen problemen mee, dus zelfs als je van de helling op één punt ín de kromme uitgaat is dat arbitrair. Nogmaals voor praktische zaken als de baan van een granaat en zelfs van een planeet voldoet de methode. Gaan we verder met Kaplan, dan zien we dat er nogal wat wiskundige trucjes aan te pas komen. Het komt op het gebruik van een wiskundige vergelijking neer. Op de moderne manier wordt de kromme ’n grafiek van een functie. Kaplan werkt met een assenkruis waarop de kromme is uitgezet, vervolgens met een raaklijn langs de kromme, op de x as en op het assenkruis uitkomend. Vanaf dat punt wordt een lijn uitgezet die op de op de x as uitkomt. De lengte tussen de twee punten op de x as levert de verhouding op die gelijk is aan de helling van de raaklijn met het punt op de kromme. Er ontstaat een rechthoekige driehoek, waarvan de schuine zijde deel is van de raaklijn. (Zie de tekening in zijn boek)
Dan zegt Kaplan, hier begint de magie. Vervolgens construeren we een grotere gelijkzijdige driehoek waarvan de eerste een klein deel is. We hebben dan twee gelijkzijdige driehoeken, waarvan we van de eerste de verhouding van de zijden willen weten. Hij, Kaplan, noemt dit een apenspel van constructies, en gaat met die twee gelijkzijdige driehoeken aan de slag. Hier komt de magie in de problemen, stelt hij, waarom? Wel de basis van de tweede gelijkzijdige driehoek staat in de weg. Deze moet tot nul verkleind worden, zodat we als het ware een driehoek krijgen met de kromme als schuine zijde. Dan komt de truc, de basis van de driehoek moet tot nul naderen, maar eveneens het verschil tussen de top van de driehoek en het raakpunt van de opstaande rechterzijde met de kromme. Door een slimme aanpak in het gebruik van de oorspronkelijke functie valt er het een en ander weg en houden we een simpele vergelijking over. Alleen h de waarde van de basis van de driehoek staat nog in de weg, dus laten we die tot nul naderen. (Fermat zou hier simpelweg gezegd hebben: h verwijderen). Wat zegt Kaplan hierover: “Wonderbaarlijk revolutionair – en zeer controversioneel. Kunnen we echt door nul delen als we dat maar op het goede moment doen? Kunnen we de logische zin zien van het glijden en verkleinen, en van een driehoek die uiteindelijk gelijkvormig is aan een structuur met een kromme zijde? En wat betekent ‘uiteindelijk’ precies?”
Is er een verschil tussen zéér klein en nul?
Deze vragen geven aan dat alles slechts een benadering, was dat niet zo, dan zou dit verhaal geen magie, geen ‘apenspul’ genoemd hoeven te worden, en het zou op een exact einde uitlopen. Dat blijkt ook uit het verdere verloop van de (controversionele) geschiedenis. Kaplan beschrijft dit, maar ik licht hier de volgende zin eruit, omdat die de essentie van het probleem aangeeft: “Aangezien het probleem ligt in het verschil tussen ‘zéér klein én nul’ (door de eerste kun je delen, door de tweede niet), werd het voor sommigen zaak de kloof tussen deze twee minuscule partikels te overbruggen, voor anderen het statische plaatje tot leven te wekken”. Is het ‘haarkloverij’ om ‘eindeloos of oneindig klein’ in het beeld te behouden? Beperk je, jezelf, om het ‘statische’ plaatje tot leven te wekken, dan snij je een heel gebied van kennis af. Daar staat tegenover dat als je de kloof tussen twee partikels wilt overbruggen, je nooit een geheel afgerond resultaat krijgt. Je kennisgebieden lopen echter heel wat verder door en wat eigenlijk het allerbelangrijkste is, we gaan zien dat de ‘Dingen zoals ze zijn’ in een grotere context geplaatst worden. Het is maar net waar je voor kiest. De eerste optie mag dan wel pragmatische zijn in die zin, dat je tevreden kunt zijn met een op het eerste gezicht redelijk resultaat. Helaas lijkt het er eerder op dat dergelijke resultaten niet pragmatisch, maar veeleer dogmatisch zijn, omdat in verband daarmee ‘oneindigheden’ en ‘zéér kleine bijdragen’, als infinitisimalen, afgewezen worden zonder dat daarvoor wetenschappelijke gronden bestaan.
Infinitesimalen gemoderniseerd?
Dat het afwijzen van infinitesimalen toch nogal dubieus was en is, blijkt uit de onbesliste strijd over dit onderwerp, en het opnieuw invoeren ervan, zij het op een gemoderniseerde wijze. Kaplan verwijst naar Abraham Robinson. Weliswaar was de poging van Robinson volgens Kaplan geïnspireerd op twee thema’s, op het snijvlak van nul als object en formalisme als waarborg van geldigheid. Of dit de uitgangspunten zijn van Robinson zelf, of dat Kaplan dit aangrijpt om zijn eigen visie op nul en het gebruik van formalismes te ondersteunen, is mij niet bekend. Het zijn echter twee uitgangspunten waarvan genoegzaam is aangetoond dat ze maar betrekkelijk voldoen. Robinson vond zijn aanwijzing in het feit dat er verschillende modellen van dezelfde verzameling axioma’s kunnen zijn. Wat deed hij? Hij maakte: “Een ‘niet standaardmodel van de axioma’s die de rekenkunde regelen’ (of analyse zoals het in zijn hogere regionen wordt genoemd), dat alle bekende reële getallen bevatte, maar daarnaast ook een aantal heel speciale getallen: ‘Getallen groter dan nul, maar toch kleiner dan ieder bekend reëel getal’. De waarlijk bijna niksen waren zijn infinitesimalen, en met behulp hiervan bewezen hij en anderen alle traditionele en zelfs sommige nieuwe theorema’s met een gemak en een beknoptheid, die de onhandige negentiende-eeuwse machinerie nooit had kunnen bereiken . Ze herstelden Leibniz in ere, evenals een korrelgrote basis onder ons denken over verandering”.
Zijn ‘bijna niksen’ echt wel fictief, of zijn ze het overgangsgebied tussen ‘eindig en oneindig’?
Kaplan vraagt: “Een uiteindelijke overwinning? De strijd woedt nog voort”. Geen wonder, als je steeds maar weer de dingen die wij niet kennen, of kunnen begrijpen, als fictie bestempelt. Robinson zelf drong erop aan, deze ‘bijna niksen’: “Niet als reële, maar als nuttige (of goed gefundeerde) ficties te zien. Hij beweerde dat hij géén nieuwe objecten had uitgevonden, maar nieuwe ‘deductieve procedures’, (zodat zelfs in dit kamp de acties gericht waren, maar zoals altijd in het recursief abstraheren dat de wiskunde is, acties die zich op een ververwijderd en terugwijkend vlak voltrokken)”. Het is maar hoe je ertegen aan kijkt. Als je alle traditionele en zelfs nieuwe theorema’s met behulp van deze waarlijk ‘bijna niksen’ bewijst, wijst het dan niet veeleer op een realiteit die door die ‘bijna niksen’ wordt weerspiegeld, dan dat het fictieve grootheden zijn, handige deductieve hulpmiddelen slechts? Aan U het antwoord. Wat geeft de zin tussen haakjes, dat de acties gericht waren, te kennen? Waarop gericht? ‘Op een ververwijderd en terugwijkend vlak, waarop die acties zich voltrokken’. Dat verwijst niet bepaald naar fictie, maar veeleer naar ‘die grotere context’ waarin ‘de dingen zijn’, dat wil zeggen waarin ‘de dingen tot bestaan komen’. Waarom tevreden zijn met ‘nul als object’ (als ‘niets dat is’) en een formalisme dat de hele zaak moet rechtvaardigen. Komen we door een nieuwe ‘korrelgrootte’ in ons denken niet op het terrein van het hele kleine dat, als in dit geval wiskundige quanta, het oneindige omzet in een zeer fijne verdeling, een ‘basis van bijna niksen’, die het fundament zijn van al die theorema’s die men ermee bewees. Het moge duidelijk zijn dat al die theorema’s afgeleid zijn van deze ‘bijna niksen’ wereld. Wij maken echter een fout als wij de zaak omdraaien, door deze theorema’s als enigste, of op zijn minst als eerste realiteit te nemen. Daardoor ontstaan de moeilijkheden, omdat we dan niet de ‘echte fundamenten’ zagen, of niet willen zien.
Soms vergeten we dat ‘nul niet nul’ is maar een ‘draaipunt’.
Belangrijk is natuurlijk niet te vergeten dat ‘nul’ niet ‘nul’ is, dat het niet verwijst naar ‘het niets dat is’, maar dat het een draaipunt is. In dit licht bezien zijn ‘de bijna niksen’ in geen geval gelijk aan nul en mogen daar ook niet aan gelijk gesteld worden. Nul als draaipunt geeft aan dat er zich aan ‘de andere kant’ van dat ‘draaipunt’ een wereld van het ‘ongeziene’ bevindt. Een echte grotere context van ‘de dingen die zijn’. In deze tijd moet het toch niet zo moeilijk zijn om zulke ‘bijna niksen’ als realiteit te zien. We denken hier aan het terrein van de fysica – met zijn Planckmaten, de Plancktijd: 10-43 sec. en de Plancklengte: 10-33 cm. Toch ‘waarlijk bijna niksen’. Het was duidelijk dat het probleem van ‘de helling van een kromme’ met die ‘bijna niksen’ in verband stond. Maar de volgende stap is te laten zien dat het, in weerwil van de ‘relativiteitswetten’ nog steeds het geval is.
De ‘helling van een kromme’ en de algemene relativiteitswet.
In feite is het een probleem van de verhouding van gekromde banen tot de onderliggende ruimtetijd. Het is natuurlijk een bekend verhaal, een bewegend lichaam kan in een gekromde ruimte niets anders dan die gekromde ruimte volgen. Dat is zoals men meent afhankelijk van de sterkte van het zwaartekrachtveld ter plaatse. Dat zwaartekrachtveld is echter niet uniform, maar verandert naarmate de baan van het bewegende lichaam dichter nadert tot de massa van het zwaartekrachtveld. Denk aan neutronensterren of zwarte gaten. Zo ook zal een bewegend lichaam in een ‘geheel vlakke’ ruimte een baan volgen die niet gekromd is. De essentiële vraag is dus zoals gezegd: Wat is de verhouding van gekromde banen, en natuurlijk ook niet gekromde banen, tot de onderliggende ruimtetijd? Dat lijkt een ‘non’ vraag, we zullen zeggen maar dat is allang beantwoordt door de ‘algemene relativiteitstheorie’ van Einstein. We vergeten dan echter dat Einstein weliswaar de uitgebreidere meetkunde voor gekromde ruimtes in vergelijkingen presenteerde, waardoor de problemen van de krommingen opgelost leken, echter Einstein zelf wist niet of ruimte nu werkelijk continu was, of zoals hij zei: “Er is weliswaar op gewezen dat het invoeren van het ruimte-tijdcontinuüm als in strijd met de natuur moet worden beschouwd in het licht van de moleculaire structuur van alles wat er op een kleine schaal gebeurt. Er wordt volgehouden dat het succes van de methode van Heisenberg misschien wijst in de richting van een puur algebraïsche methode van de beschrijving van de natuur, dat wil zeggen naar de eliminatie van continue functies uit de fysica. Maar dan moeten we als consequentie daarvan ook het ruimte-tijdcontinuüm opgeven”. Bovendien zijn de ‘vergelijkingen van het gravitatieveld’ ook differentiaalvergelijkingen en daarvan liet Kaplan zien dat die ‘verdwijnen’ als de berekening voltooid is. Ja nogal logisch, als we een berekening voltooid hebben en het resultaat kennen, dan hebben we de vergelijking toch niet meer nodig? Het gaat echter om wat de vergelijkingen doen met ons voorstellingsvermogen.
Newton’s aanpak om van die lastige ‘infinitesimalen’ af te komen.
In werkelijkheid liet Newton zelf zien wat er aan de hand was : Newton zat op de grens van de ontwikkeling van het begrip van de infinitesimalen overgaand in de aanvaarding van de limietmethode. Newton noemt zijn infinitesimalen ‘momenten van flucties’. Het begrip komt van fluctueren en dat betekent: schommelen, op en neer gaan, flucties zijn dan momenten in zo’n proces, maar je weet nooit precies hoe je zo’n moment moet definiëren. Dat was ook het probleem van Newton, in zijn vergelijkingen geeft hij die flucties weer met termen, en als je nu denkt dat deze termen invloed uitoefenen op het resultaat, dan heb je het mis. Want wat deed Newton? Hij elimineerde ze en verantwoordde dat op de volgende manier: eerst combineert hij ze met ‘nul’, waar nul ‘een oneindig kleine grootheid is’. Sommige termen uit de vergelijking, worden al verondersteld gelijk aan nul te zijn, Deze termen worden weggenomen en de overige termen worden door nul gedeeld, en dus loopt de vergelijking op nul uit (denk hierbij aan Kaplans betoog). Nu volgt de crux van het verhaal, want hoe wordt dat verantwoordt? In Struik’s betoog als volgt: ‘Maar aangezien 0 oneindig klein wordt verondersteld opdat het momenten van kwantiteiten kan voorstellen, zullen de termen, die ermee vermenigvuldigt zijn, niets zijn, vergeleken met de overige. Ik laat ze dus weg, en wat overblijft is: een vergelijking die op nul uitloopt’. Het is duidelijk, als nul als ‘oneindig klein’ wordt voorgesteld, dan kunnen de ‘momenten van kwantiteiten’ die er door worden voorgesteld nóóit ‘gelijk aan nul’ zijn. Dus om een sluitend verhaal, met een finitistisch resultaat te verkrijgen, zit er niets anders op dan deze ‘bijna niksen’ te elimineren. Het gevolg is dan wel dat het resultaat niet volledig is. Newton zelf begreep het probleem wel, maar nam genoegen met datgene wat hij met zijn vergelijkingen kon bewerkstelligen, zoals blijkt uit zijn woorden: “Die uiteindelijke verhoudingen waarmee grootheden verdwijnen, zijn in waarheid niet de verhoudingen van uiteindelijke grootheden, maar grenswaarden waartoe de verhoudingen van grootheden die onbegrensd verminderen, altijd convergeren; en waartoe zij meer en meer naderen tot op een willekeurig van te voren gegeven verschil, maar die ze, noch ooit overschrijden, noch werkelijk bereiken tot de grootheden tot in het oneindig kleine afnemen”. Op een andere plaats zegt hij: “Grootheden, en de verhouding van grootheden, die in een willekeurig eindig tijdsverloop ononderbroken naar gelijkheid streven, en die voor het einde van dit tijdsverloop elkaar benaderen tot op een willekeurig van te voren gegeven bedrag, worden tenslotte gelijk”. Hoewel Struik zegt dat het allemaal nog wat vaag en warrig was, en dat het uiteindelijk Cauchy was die de limiet berekeningen helder en duidelijk formuleerde, wil dit nog niet zeggen dat de problemen van de baan waren. De essentie ervan is nog steeds geldig, daarvoor hoeven we alleen maar grondig in allerlei verhandelingen over wiskunde en fysica te duiken, om tot de conclusie te komen dat de discussie over of alles eindig is, of juist niet, onverminderd doorgaat.
Ruimtetijd als een continuüm zien lost de problemen niet op.
Als we de gegevens toepassen op het huidige begrip van ruimtetijd en het zien als een continuüm, zoals Einstein wilde, dan komen de vermelde problemen onverkort terug. Want dan zijn de vergelijkingen van Einstein (in ieder geval die van de algemene relativiteitstheorie) ook benaderingen, die met limieten werken, omdat een continuüm differentiëren betekent, zoals we al zagen, het onderverdelen in grootheden. Waarom heeft dit tot nu toe géén moeilijkheden opgeleverd? Wel om de eenvoudige reden dat de relativiteitswetten op macroscopische ‘gehelen’ worden toegepast, de problemen rijzen pas als we op microscopisch, of op quantumniveau komen. Hoe zullen we nu de grootheden ruimte en tijd, die in een ruimtetijd-interval onverbrekelijk met elkaar verbonden zijn, onderverdelen? Hoe laten we die grootheden tot elkaar naderen, of liever gezegd hoe definiëren we die grootheden? Lopen ze tot oneindig, dan zitten we met Newton’s probleem, ‘dat ze in waarheid niet de verhoudingen van uiteindelijke grootheden zijn, maar grenswaarden die, slechts naderen tot op een willekeurig van te voren gegeven verschil’ Lopen ze niet tot oneindig, dan is de consequentie, niet meer en niet minder, dat ruimtetijd gequantificeerd is, en dan moeten ‘bewegingen van een lichaam’ beschreven worden in een verhouding van die beweging (de kromme van een helling bijvoorbeeld, maar ook de beweging in een geheel vlakke ruimte) tot die ‘ruimtetijd die gequantificeerd is. Het is dan niet voldoende om zonder meer de quantumtheorie erop los te laten. Dat is een theorie van deeltjes en in potentie misschien van ruimtetijd. We kunnen hierbij aan quantumvelden denken, maar de theorie is nog nooit voldoende doorgetrokken in die richting. Hoogst waarschijnlijk kan dat ook niet, maar moet ze gekoppeld worden aan de verworvenheden van de relativiteitstheoriën. En dat niet alleen, alle conclusies moeten consequent doorgetrokken worden naar het Planckniveau, als de ondergrens van quantificatie, en daarvóór, bij het ontstaan en weer vergaan van quantificatie uit oneindigheid.
Zo langzamerhand zijn we gekomen tot een verdere vraagstelling, namelijk, of ‘fysica en astronomie een verhouding tot oneindigheden hebben’. Hier gaan wij in deel 7 verder op in.