6.4 De continuümhypothese

6.4 De continuümhypothese en andere onderwerpen uit de verzamelingenleer, die de verhouding eindig – oneindig verduidelijken.

Felix Hausdorff stelde: “Er moet een logisch continu ordening zijn, ja zelfs een Absoluut continu ordening”. Dat is niet alleen logisch mogelijk, maar ook logisch noodzakelijk als we alle aanwijzingen serieus nemen. De aanwijzingen laten toe dat er échte oneindigheden zijn die niet denkbeeldig zijn. Echter ook al duiken er in de loop van de geschiedenis telkens weer denkbeelden over het ‘oneindige’ op, dan wil dat nog niet zeggen dat het onderwerp algemeen aanvaard is, integendeel, over het algemeen is men niet gelukkig als er in theorieën oneindigheden opduiken, en min of meer als rampzalig beschouwt als ze in berekeningen opduiken. Hoewel Cantor en anderen nadachten over oneindigheden, en die in de ‘verzamelingenleer’ ook tegenkwamen, vond men het moeilijk om het ‘oneindige’ als absoluut te aanvaarden. Dat is vreemd want Cantor was toch degene die het rekenen met oneindigheden mogelijk maakte, ja sinds die tijd wordt toch aanvaard (niet door iedereen) dat er verschillende ‘oneindigheden’ bestaan. Zelfs dat sommige ‘oneindigheden’ groter of kleiner dan andere zijn, vreemder nog dat delen van een verzameling net zo groot kunnen zijn als de hele verzameling. Dat laat zien dat bepaalde oneindigheden, hoewel men ze als even groot betiteld, deel van andere oneindigheden kunnen zijn.

Kunnen ‘wiskundige oneindigheden’ fysische werkelijkheid weergeven?

De vraag rijst nu als dat kan, betekent dat dan dat het soort van oneindigheden waar we in de verzamelingenleer kennis meegemaakt hebben, werkelijk bestaan, of dat we menen dat ze bestaan doordat we ze tegen komen in allerlei situaties, zowel wiskundig als fysisch. In hoeverre beelden wiskundige oneindigheden fysische realiteit af ? Bijvoorbeeld op ‘Platoonse’ manier, ontdekken we zo nieuwe werkelijkheden, of vinden we slechts wiskundig gereedschap uit? De waarheid zal wel ergens in het midden liggen, omdat het er van afhangt in hoeverre wiskundige methoden overeenkomen mét fysische werkelijkheid, in die zin dat een wiskundige methode de fysische werkelijkheid ís, of ze zo dicht mogelijk benadert. Het lijkt er op dat wiskundige (inclusief getaltheoretische) methoden op zijn minst een redelijke beschrijving geven van ‘fysische werkelijkheid’. Of ze elkaar 100% dekken zullen we wel nooit te weten komen, dus moeten we misschien tevreden zijn als wiskundige methoden een redelijk begrijpbaar beeld van de werkelijkheid beschrijven. Uitgaande van dit soort overwegingen, lijkt het de moeite waard om na te gaan of wiskundige oneindigheden in een redelijke mate met fysische werkelijkheid overeenkomen. Vandaar dat we in dit deel aandacht schenken aan begrippen als de reële getallenlijn, de continuümhypothese en ‘Absolute oneindigheid’. Wat dat laatste betreft zullen we misschien niet veel verder komen dan de erkenning dat er ‘Absolute oneindigheid’ bestaat, als dat zo is dan is dat al heel wat. Het zou een ondersteuning kunnen zijn van de visie, door mij uiteengezet, dat eindigheden uit ‘oneindigheid’ voortkomen, ja niet eens zonder dat kunnen bestaan.

De reële getallenlijn, tussen eindig en oneindig.

In hoeverre gaat dit op voor de reële getallenlijn? In wezen is het een lijn met punten die bestaat uit oneindige tiendelige breuken , een getal met een oneindige rij cijfers achter de komma. Opvallend is nu dat er in zo’n rij van oneindige tiendelige breuken, steeds weer andere oneindige tiendelige breuken geplaatst kúnnen worden. Het komt er dus op neer dat zo’n rij, ‘de reële getallenlijn’, nooit af is. Dat soort van ontdekkingen heeft de stimulans gegeven om over oneindigheden na te gaan denken. Maar het gaat veel verder dan alleen maar een interessant object. Cantor beschouwde een reëel getal dus als een oneindige rij cijfers en voor Dedekind was elk reëel getal eigenlijk zelf een oneindige verzameling. Daarmee wordt bedoeld dat ieder cijfer achter de komma eigenlijk als een gewone breuk geschreven kan worden, bijvoorbeeld de breuk 0,739243516……., kan worden voorgesteld als: 7/10 + 3/100 + 9/1000 + 2/10 000 + 4/100 000….. enz. enz. In feite lost dat niets op want de optelling van eindige breuken gaat oneindig door. Je kunt de optelsom alleen eindig maken door een limiet te stellen, dat was niet de bedoeling van Cantor en Dedekind. Voor Cantor goldt het volgende: ‘werken met de reële getallenlijn is werken met feitelijk oneindige verzamelingen, het was de enige manier om een stabiele wiskundige weergave van de reële getallen te krijgen’. Ja een stap verder was nog dat daardoor het gebruik van reële getallen mogelijk was om te kunnen werken in verband met ‘discrete mathematische objecten’. Hoewel men niet weet waar de reële getallenlijn vandaan komt en de opvatting is dat er geen reden is om aan te nemen dat de reële getallenlijn terug gevonden kán worden in de fysische ruimte, is de visie dat er met de reële getallen in verband met ‘discrete mathematische objecten’ gewerkt kán worden, bijzonder interessant. Want hoewel dit gaat over ‘discrete mathemathische objecten’ is het mogelijk dat we de lijn naar ‘fysische werkelijkheid’ doortrekken. In verschillende delen heb ik laten zien dat verschillende ‘fysisch wiskundige’ methoden op een oneigenlijke manier afgekapt worden, doordat men met finitistische uitkomsten tevreden is.

De consequenties van ‘wiskundige’ methoden in verband met continua.

Beredeneren we deze methoden consequent door, dan komen we haast automatisch uit bij oneindigheden, en veelal ook in oneindige verzamelingen. Zo zijn bepaalde uitkomsten van berekeningen (naar experimenten) in wezen ‘oneindige tiendelige breuken’, reële getallen dus. Het is dus verre van onredelijk te stellen dat ‘fysische werkelijkheid’, op zijn minst beschreven kán worden met reële getallen en oneindige verzamelingen. In hoeverre heeft de reële getallenlijn nu te maken met de ruimte, wiskundig of fysisch, is een volgend onderwerp. Reële getallen worden voorgesteld als alle punten op een lijn die samen een verzameling vormen. Dat is min of meer een idealisatie, omdat zoals we al zagen het ondoenlijk is om álle punten op zo’n lijn door reële getallen voor te stellen. Er kunnen er altijd meer bij. Dus hoewel je in staat bent om een punt op die lijn te vinden door er een reëel getal aan te verbinden, zit er een tekortkoming aan indien je denkt dat er daardoor een werkelijk continue lijn ontstaat. Hoe je het ook bekijkt en hoeveel getallen je  ook toevoegt, het blijft een discontinue (discreet, dat wil zeggen uit delen bestaand) lijn. Discreet en continu in verband met een wiskundige ruimte (soms wiskundig universum genoemd) blijven fundamenteel verschillend.

Als we nu overgaan van de lijn naar een wiskundige ruimte, dan geldt eveneens het bovenstaande probleem van continu en discontinu (discreet). Net zo min als een lijn bestaande uit discrete punten daardoor continu wordt, wordt een ruimte bestaande uit discrete punten daardoor continu. Daar komt nog het oude probleem bij kijken wat een punt eigenlijk is. Hoe kun je een lijn afdoende invullen als punten geen enkele afmeting hebben? Vanuit de verzamelingen leer, kun je weliswaar met oneindige verzamelingen een heel eind komen, maar het blijft een benadering die misschien altijd tekort schiet om een continue lijn of ruimte te beschrijven. Door Rucker e.a. wordt dan ook nog het begrip ‘Absoluut continu’ lijn en een ‘Absolute wiskundige continue’ ruimte ingevoerd, ook wel wiskundig universum genoemd, maar net zo min als je een lijn afdoende continu kan beschrijven, kun je dat met een ‘Absoluut continue ruimte’. In het verloop van dit onderzoek zullen we zien dat continu en discontinu van een totaal verschillende orde zijn. Geen vrede hiermee hebbend tracht men toch met ‘oneindige verzamelingen’ enig begrip te krijgen van wat een ‘Absolute ruimte’ is. Hiervoor duiken we in de gedachten die Cantor daarover had en vergeten even de voorgaande opmerkingen over continu en discreet. Het gaat over de machtigheid van een verzameling, dat is een getal (kardinaalgetal genoemd) dat de omvang van een verzameling aangeeft  . Nu dacht Cantor (volgens Rucker) dat de machtigheid (het getal dus dat de omvang aangeeft) van een lijn, een vlak en een driedimensionale ruimte verschillend waren, aangeduid met 1, 2, 3, overeenkomend met een tot drie dimensies (uit te spreken als aleph 1, 2, 3, aleph is de eerste letter van het Hebreeuwse alfabet) Maar wat bleek nu, al deze verzamelingen hadden dezelfde machtigheid c. Het is niet onlogisch om te vragen, hoe kan dat nu, een driedimensionale ruimte heeft toch meer punten dan een vlak, en een vlak heeft toch meer punten dan een lijn?

Is de ‘oneindigheid’ van een lijn werkelijk even groot als die van een vlak, of zelfs van een driedimensionale ruimte?

Dit alles wordt verdedigd met de gedachte dat een oneindige deelverzameling, zoals de reële getallenlijn, hoewel ogenschijnlijk kleiner dan de oneindige verzameling van het vlak even ‘oneindig’ is als de verzameling van het vlak. En het vlak op zijn beurt als deelverzameling van de driedimensionale ruimte evenveel punten heeft als die ruimte. Rucker zegt hier, na een argumentatie gevolgd te hebben die dat moet verklaren: “We weten nu dus dat de verzameling punten in een wiskundig lijnstuk even groot is als de verzameling punten in een oneindige wiskundige ruimte. Als het wezen van continuïteit inderdaad besloten ligt in het reële getallenstelsel, dan heeft dit kleine segment ( – ) evenveel punten als er tijdruimtelocaties in de eindeloze ruimte en tijd zijn. De machtigheid van deze verzamelingen heet c of 20 en we weten dat deze machtigheid groter is dan 0.”  De machtigheid c is het kardinaalgetal van het continuüm. En 0 is de machtigheid van de natuurlijke getallen, 0,1,2,3,….. Nu ligt het voor de hand dat hoewel de verzameling van natuurlijke getallen in zekere zin ‘oneindig’ is (want je kunt almaar door tellen) er toch een duidelijk verschil is met de machtigheid van de reële getallenlijn. Als we denken aan de betekenis van machtigheid als de omvang van  een verzameling dan is dat niet zo moeilijk te snappen. Tussen twee ‘natuurlijke getallen’ kun je oneindig veel reële getallen plaatsen, dus de ‘omvang’ van de verzameling van de natuurlijke getallen is vanzelf veel kleiner. Met de reële getallen en de ‘wiskundige ruimte’ ligt het niet zo eenvoudig, toch moet er een verschil zijn, ruimte is nu eenmaal iets anders dan een een-dimensionale lijn. Oppervlakkig gezien is er géén verschil en dat is ook het gangbare standpunt. Je kunt het echter ook op de volgende manier beredeneren.

De verschillende ‘oneindigheden’ nader beschouwt.

We gaan eerst uit van de gelijkwaardigheid van de oneindigheden betreffende de lijn, het vlak én de ruimte. Bedenkend dat ongeacht je het hebt over een lijn, vlak of ruimte, en die met reële getallen wil beschrijven, lijkt het er inderdaad op dat het om dezelfde oneindigheden gaat, immers je kunt, ongeacht of het nu over een lijn, vlak of ruimte gaat, in alle drie steeds nog meer reële getallen plaatsen. Stel dat je denkt, nu is het voor mij genoeg, dan nog kun je tussen iedere twee reële getallen telkens weer nieuwe plaatsen. Ogenschijnlijk is het zelfs zo extreem dat ieder willekeurig lijnstukje, hoe klein ook, dezelfde hoeveelheid reële getallen kan bevatten. Ja óók oneindig veel! Toch moeten we hier een onderscheid maken en nadenken waar we mee bezig zijn? Dan kunnen we stellen dat de oneindigheden in al die verschillende dimensies, en oneindig grote lijnen, vlakken, ruimtes en tevens in hele grote of uiterst kleine lijnstukjes, vlakjes en ruimtes, niéts over de lijnen vlakken of ruimtes zeggen. Maar alléén over het begrip oneindigheid. Hier stuiten we op het onvermogen om met discontinue eenheden, de reële getallen, iets nauwkeurigs over continua te zeggen. Rucker merkte hierover op: “Dat een absoluut continue lijn in wezen door geen enkele verzameling discrete punten volledig kan worden beschreven. Hoe groot een dergelijke verzameling ook is.”  Dat geldt in wezen ook voor een vlak en een ruimte. In werkelijkheid gaat het om oneindigheid wat ruimte betreft, het zogenoemde wiskundige universum.

Met een illustratieve benadering van wat een ‘oneindige ruimte’ zou kunnen zijn, komen we misschien verder. Als we het bijvoorbeeld hebben over een lijn en de oneindigheid daarvan, stel je, je dan eens voor dat je naast die lijn een volgende legt, en daarnaast nog een, en nog een, en nog een, en dat doorgaand tot óók alweer oneindig. Dan krijg je oneindig veel lijnen naast elkaar gevuld met reële getallen. Dat geeft al enigszins een beeld van een oneindig vlak, maar het is nog niet klaar. Wat is dan de volgende stap? Die ligt voor de hand, want haaks op al die lijnen kun je ook lijnen trekken, langs ieder reëel getal op al die verschillende lijnen (ook oneindig veel, zagen we al). Zo krijg je dus een oneindig vlak, geheel gevuld met reële getallen. Dan is er nog een derde stap, dat is van vlak naar ruimte. Denk voor het gemak even aan een kubus, dan trekken we vanaf ieder punt in het vlak (aangegeven door een reëel getal) een verticale lijn. Vanzelfsprekend is iedere lijn weer een reële getallenlijn. Voor de volledigheid om de kubus af te maken moeten we nu nog een ding doen, dat is dan vanaf dat vlak (grondvlak van de kubus) met al zijn oneindige lijnen en punten, lijnen uitzetten op de hoogte van de kubus, dus haaks op alle verticale lijnen. (en haaks op elkaar) Natuurlijk via ieder punt (reëel getal) op die verticale lijnen, waardoor er op ieder vertikaal punt vlakken ontstaan bestaande uit ‘oneindig’ veel reële getallen. Misschien duizelt het u inmiddels om zoiets voor te stellen en was het voorbeeld van een kubus toch niet zo goed, want helaas het is een oneindige kubus.

Oneindigheden zijn toch niet altijd van dezelfde orde.

Het is niet moeilijk in te zien dat de oneindigheid van de kubus van een andere orde is dan die van het vlak, terwijl de oneindigheid van het vlak van een andere orde is dan die van een énkele lijn. Het komt erop neer dat de oneindigheid van een lijn toch beperkter is dan die van een vlak, en de oneindigheid van het vlak dan die van de kubus. Omdat we met discrete eenheden, de reële getallen, werken, kunnen we zeggen dat als we de zaak omdraaien én van oneindigheid uitgaan, oneindigheid op een hiërarchise wijze verdeeld wordt. Dat gebeurt vanuit de wiskundige ruimte naar lagere dimensies, namelijk vanuit die ruimte naar het vlak en vervolgens naar de lijn. Dus hoewel vanuit de oneindigheid van lijn, vlak en ruimte geredeneerd, het er op lijkt dat we over dezelfde oneindigheid spreken, want in ieder van deze drie kun je oneindig veel reële getallen blijven plaatsen, is dat toch maar schijn. Dat komt omdat je, zoals we zagen, een ruimte geheel anders, uitgebreider in oneindigheid kunt beschrijven dan een vlak, of een lijn .

Is de ‘continuüm hypothese’, de oplossing voor het continuümprobleem?

We komen nu dan tot de ‘continuüm hypothese’. Het is niet moeilijk te zien dat dat voortvloeit uit de machtigheid van de reële getallen lijn, die (voorlopig) gelijkgesteld werd met c. We volgen Rucker over Cantor: “We kunnen met zekerheid aantonen dat 0 c. Dat weten we omdat hij zijn bewijs vermeldde in een brief aan Dedekind”. 0  is het kardinaalgetal van de natuurlijke getallen. Dat dat kleiner is dan 1, het kardinaalgetal van de reële getallen, zagen we al, terwijl tussen ieder paar reële getallen er steeds weer nieuwe geplaatst kunnen worden, is dat niet het geval met de natuurlijke getallen (0,1,2,3,4,…….), want dan kom je bij breuken en tiendelige breuken uit.

De volgende vraag kan dan worden gesteld: “Als c niet 0 is, welke alef is c dan, als het al een alef is?” Dat laatste is van belang, als we het ‘Absolute’ gaan bespreken. We zullen dan zien dat daar géén kardinaalgetal voor bestaat. Dat is niet zo moeilijk te aanvaarden, omdat als er wel een kardinaalgetal voor bestaat we dan ook moeten aannemen dat er een groter kardinaalgetal bestaat, en dan is het Absolute niet meer Absoluut. Dat is even in het kort, we hoeven echter niets zomaar aan te nemen en dus komen we daar te zijner tijd nog op terug. Nu verder met Rucker: “Het probleem te bepalen wat de plaats is van c in de hiërarchie van alefs heet Cantors continuümprobleem en de bewering dat c = 1 heet Cantors continuümhypothese, of kortweg CH. Cantor was ervan overtuigd dat c = 1. Ooit dacht Kurt Gödel dat c 2 moest zijn, en een paar jaar geleden schreef D.A Martin een verhandeling waaruit je zou kunnen opmaken dat c = 3 (Martin zelf is het niet met deze interpretatie eens.) Niemand weet het eigenlijk. Ikzelf dacht altijd dat c =  +. Dit laatste dat niemand het eigenlijk weet is cruciaal, maar waar gaat het nu eigenlijk om? Meestal zegt men dat de continuümhypothese gaat over de vraag of er tussen de natuurlijke getallen én de reële getallen géén andere verzameling past. Dat wil dus zeggen of er tussen de kardinaalgetallen van beide een ánder kardinaalgetal geplaatst kan worden? Hoewel Cantor dacht dat hij het bewijs kon leveren van de Continuümhypothese is hij daar niet in geslaagd en, interessanter nog, tot nu toe niemand. We zullen aan de hand van Rucker twee pogingen behandelen die uiteindelijk geen bewijs opleverden, maar sterker nog, diametraal tegenover elkaar bleken te staan. Het gaat om Kurt Gödel en Paul Cohen, we volgen de redenaties: “In 1940 bewees Gödel: ‘CH is consistent met ZFC  . Hij toonde aan dat c1 niet te bewijzen valt uit de axioma’s van ZFC. Dit betekent niet dat Cantor gelijk had, alleen dat hij op grond van ZFC niet aantoonbaar ongelijk had”. Dat op zich is al Gödeliaans, formele systemen zijn onvoldoende. Dan krijgen we Paul Cohen: “In 1963 bewees Paul Cohen dat de ontkenning van CH consistent is met ZFC. Hij toonde aan dat men nooit c=1   kan bewijzen op grond van de axioma’s van ZFC. Dit betekent niet dat Cantor ongelijk had, het betekent alleen dat we niet kunnen bewijzen dat hij gelijk had uitsluitend op grond van de axioma’s van ZFC.”  De conclusie is dus met Gödel-Cohen, dat niet te bewijzen valt dat c ongelijk is aan 1 , maar óók niet te bewijzen valt dat c is gelijk aan 1. De conclusie die ook Rucker dus maakt is dat ZFC geen voldoende volledige beschrijving van het universum van de verzamelingenleer geeft om ons te vertellen wat de machtigheid van het universum is. De voorlopige machtigheid (kardinaalgetal) was dus c, en die machtigheid, het kardinaalgetal is niet te bewijzen als kardinaalgetal van het continuüm. Er is nogal wat heen en weer geredeneerd, maar niets is zeker. Niettemin is het de moeite waard, omdat we zo wellicht wat meer begrip voor een echt continuüm leren opbrengen. En alhoewel men twijfelt tussen c = 1 en c = minstens 1, komen we in dit verband via de reële getallen, namelijk 1, toch verder omdat als c het kardinaalgetal van zowel de reële getallen als van ‘het continuüm’ genoemd kan worden, we dan toch door meer over de reële getallen te weten te komen, misschien ook inzicht in het continüm krijgen.

Ook hier is weer een grens. Denk aan de ‘eenheidscirkel’.

Er is natuurlijk een scheidslijn (of overgangsgebied) tussen beide omdat het een discreet en het ander continu is. Als we de oneindige (overaftelbare) verzamelingen al te serieus nemen, dan lopen we keer op keer vast in/op die scheidslijn. Dat blijkt uit de verschillende benaderingsmethoden van ‘Absolute oneindigheid’, door Rucker beschreven en door mij belicht in het vervolg hiervan. Het probleem kan gedefinieerd worden als het ‘Ene en/of Vele’ probleem, dat komt neer op: ‘is Alles even groot als Absolute oneindigheid?’ ‘Alles’ wil zeggen: ‘álle elementen (onderdelen) waaruit een wiskundig (of een fysisch) universum bestaat. Als ‘Alles’ even groot zou zijn als ‘Absolute oneindigheid’, dan zou dat betekenen dat ‘Absolute oneindigheid’ uit een oneindige verzameling van discrete (discontinue) elementen bestaat. Maar als een wiskundig continuüm al niet benoemd kan worden met discrete eenheden, zoals we zagen bij de bespreking van de reële getallen, dan geldt dat zeker voor het ‘Absoluut oneindige’. Want in Ruckers uiteenzetting staat het ‘Absoluut oneindige’ boven aan de hiërarchie van de verzamelingleer.

Kan inzicht in de ‘continuümhypothese’ leiden tot inzicht in een ‘fysisch continuüm’?

Bij alle pogingen die er gedaan zijn om de continuüm hypothese te bewijzen, komt meestal maar zijdelings het fysische continuüm om de hoek kijken. Dat is toch wat merkwaardig, omdat hoe interessant wiskunde, hier dus de verzamelingenleer, ook is, ze is pas zinvol als er een verbinding met de fysische werkelijkheid is. Rucker merkte hierover op: “Een van de oorzaken dat de verzamelingenleer met het continuümprobleem op een dood punt  is beland, is misschien dat we nog niet genoeg pogingen hebben gedaan het probleem te identificeren met enkele problemen buiten de wereld van de zuivere wiskunde”. Een zo’n probleem zou de vraag kunnen zijn of het fysische universum een continuüm is óf dat het discontinu, bestaande uit quanta, is. Of de continuüm hypothese ooit bewezen wordt of niet, is misschien vanuit wiskundig oogpunt belangrijk, maar dergelijke problemen geven veeleer aan dat we aan een gebied reiken dat buiten onze macht ligt, maar toch wel eens uitermate fundamenteel zou kunnen zijn voor een goed begrip van dat gebied waar we van denken dat het wél binnen ons bereik ligt.

Het continuüm zou tussen de natuurlijke getallen en de reële getallen liggen?

Een merkwaardige opvatting van de CH willen we nog belichten, omdat  er nog een poging wordt gedaan om voorgaande helder te krijgen. Het gaat over de vraag of er een gebied ligt tussen de natuurlijke getallen en de reële getallen dat met een kardinaalgetal beschreven zou kunnen worden. Volgens Cantor kwam CH overeen met 20 = 1. 0 dat als een macht van 2 wordt opgevoerd is het kardinaalgetal van de natuurlijke getallen. Deze zijn aftelbaar, dat wil zeggen je kunt ze achtereenvolgend tellen als 0,1,2,3,4,….. Ze worden als oneindig opgevat, maar dat komt alleen maar omdat je ogenschijnlijk oneindig door kan tellen. Heel anders is het met de reële getallen, met als kardinaalgetal 1 , deze noemt men overaftelbaar. Je kunt wel denken dat je ze achtereenvolgend kunt aftellen, maar dat is schijn want zoals we al zagen, tussen iedere twee getallen die je hebt afgeteld kan een nieuw geplaatst worden, en nog een, en nog een, enz. enz……Eigenlijk zijn de reële getallen dus niet aftelbaar, maar breiden zich op een andere manier dan de natuurlijke getallen uit. De natuurlijke getallen vormen alleen maar een duidelijk reeks, die in een richting oneindig door kan lopen. Met de reële getallen is iets heel anders aan de hand. Begin je met aftellen daarvan, en laat je het proces de vrije hand, dan raakt de reële getallenlijn steeds voller. Zoals gezegd kun je de ‘ruimte’ tussen twee ervan steeds verder opvullen met andere getallen, en tussen iedere twee van die andere kun je hetzelfde doen, en tussen twee van die nieuwe daardoor ontstaan, kun je weer hetzelfde doen. Het resultaat is een alsmaar complexer wordende getallenlijn. Dat is nog niet alles, want terwijl we dat proces door laten gaan, is er nog een andere mogelijkheid, die we tegelijkertijd aanpakken. Dat is de getallenlijn in de lengte volgen, door gewoon achter de getallen die we reeds vonden alsmaar nieuwe te plaatsen. En misschien wordt het enigszins saai, tussen die nieuwe die we in de lengte van de lijn plaatsen, kunnen we het eerste procedé vanzelfsprekend ook uitvoeren. Al eerder lieten we zien dat het uitgebreid kan worden naar een vlak en vervolgens naar een ruimte. Al met al lijkt het erg op de alsmaar uitdijende fysische ruimte. Als de fysische ruimte inderdaad alsmaar uitdijd, dan is het misschien mogelijk om met een dergelijke reële getallenruimte iets meer over dat uitdijingsproces te weten te komen. Want hoe ruimte ontstaat in zo’n alsmaar uitdijend proces is eigenlijk een nauwelijks ontgonnen gebied.

Het was even noodzakelijk om uit te weiden om duidelijk het verschil tussen beide getallenlijnen aan te geven. Als we de reële getallenlijn overdenken, dan lijkt het logisch dat men in de verleiding komt, om deze gelijk te stellen met het continuüm, dus c = 1 . In het voorgaande kwam echter het idee naar voren dat 20 = 1 . Omdat 2 tot de macht aleph nul, gelijkgesteld wordt met aleph een, wordt de indruk gevestigd dat de reële getallen alleen maar een bijzondere vorm van de natuurlijke getallen zijn. Het probleem van de continuümhypothese zou er dus in kunnen bestaan dat 1) Het continuüm ligt al tussen de natuurlijke en de reële getallen. De meetbare kant van de wereld zou (enigszins simplistisch) met de natuurlijke getallen gesymboliseerd kunnen worden. 2) Hoewel niet bewezen zou het een poging kunnen zijn om het eindige (het aftelbare) te verbinden met het oneindige (het overaftelbare). Een probleem daarbij is dat 20, niet zo duidelijk gespecifieerd is als een aleph, een kardinaalgetal. Dat is niet zo verwonderlijk, want anders was het continuüm probleem opgelost. Alles overwegende lijkt het wat simpel dat het continuüm tussen de natuurlijke en de reële getallen zou liggen. Logischer lijkt het dat het buiten de getalstelsels ligt.

Een fysisch continuüm of quantisateie van ruimtetijd?

Wat het fysische continuüm betref, is dat nog een open vraag. Het is interessant dat Rucker reeds in de jaren tachtig de vraag behandelde of het universum eindig of oneindig zou zijn. Hij komt tot drie opties waarvan er ten minste een door hem als gequantiseerd wordt voorgesteld: ” 1. het universum is volkomen eindig en dus een eindige, volledige beschrijving mogelijk; 2. het universum is in zekere opzicht oneindig, maar is desondanks gespecificeerd door een eindige verzameling feiten; 3. het universum is oneindig en kan met een eindige verzameling zinnen niet volledig worden beschreven.” Van geval 1 zegt hij, zijn ruimte en tijd eindig en gequantiseerd. Je kunt dan, tenminste in principe, ruimte en tijd volledig beschrijven. Ten eerste komt er een eind aan de beschrijving omdat het onderwerp eindig is. Ten tweede omdat het universum volledig beschrijfbaar is moet het gequantiseerd zijn, dat wil zeggen in ‘onderscheidbare’ onderdelen samengesteld. het is dan volledig beschrijfbaar, althans als we alle onderdelen kennen. Er blijft dan een filosofische vraag over, is er buiten dat eindige universum iets. Deze vraag wordt eigenlijk al tientallen jaren genegeerd. Zowel in het ‘Big bang’ model, waar men beweert dat er vóór de Big bang niets was, als ook in die modellen waar het universum eindig is. Hoewel dat niet onderkend wordt, speelt deze vraag ook in het eeuwig uitdijende heelal, want waar dijt het heelal in uit? Het antwoord dat het geen juiste vraag is, omdat het niet in iets uitdijt, maar dat ruimte al uitdijend gevormd wordt, is in zoverre géén antwoord omdat tot nu toe niet duidelijk is gemaakt hoe ruimte gevormd wordt. En dat moet toch, ook als ruimte uitdijt? Of is ruimte een soort kauwgum of elastiek dat als maar uitrekt naarmate het uitdijt? Nu is het zo dat de ‘Algemene relativiteitstheorie’ toestaat dat ruimtetijd vervormd en uitgerekt kan worden, Maar dat beantwoord de vragen niet. Ook in het geval van de ‘Big bang’ ontwijkt men het probleem, omdat als ruimte en tijd  voor de ‘Big bang’ niet bestonden, er eveneens duidelijk gemaakt dient te worden hoe ruimte en tijd tot stand komen. En dat wordt niet of nauwelijks gedaan. Als laatste hierover, als men beweert dat ruimte en tijd niet buiten, of vóór het bestaan van het heelal bestonden, dan is dat een aanname en niet bewezen, wellicht nooit te bewijzen. Hoewel we dus als het heelal eindig zou zijn misschien een ‘volledige’ beschrijving kunnen geven, geldt dat dan ook alleen maar ten aanzien van het eindige voorkomen van dat universum. We weten niet, en misschien nóóit, of zo’n ‘volledige’ beschrijving verbindingen heeft met oneindigheden. Dat leert ons dat we niet te snel moeten denken dat iets niet kan, omdat wij denken dát het niet kan.

Een oneindig heelal, gespecifieerd door een eindige verzameling feiten.

Dan krijgen we geval 2. Daarvan zegt Rucker: ‘het is de droom van de rationalist’. Voor hem is het heelal op de een of andere manier oneindig, misschien omdat hij zo reëel is om waarnemingen (experimenten, berekeningen en theorieën) die op oneindigheden wijzen serieus te nemen. Niettemin menen aanhangers van deze optie dat ze zo’n oneindig heelal met een eindige verzameling wetten, begincondities en feiten kunnen beschrijven. Dat zou alleen maar kunnen als bewezen kan worden dat overal in dat ‘oneindige universum’ dezelfde condities gelden en/of dezelfde materiële objecten aangetroffen worden. Het zal duidelijk zijn dat ook dit nimmer kan worden aangetoond, zelfs al zouden we de meest futuristische waarnemingsinstrumenten ontwikkelen. Dan nog is dat onmogelijk, omdat waarnemingen die dat moeten vaststellen, per definitie oneindig lang zouden moeten duren. We zouden oneindig lang waarnemingen moeten blijven doen. In feite komt de hele kwestie neer op de vraag of het universum berekenbaar of onberekenbaar is, maar daar gaan we in het volgende deel op in. We hebben nog geval 3: ‘het universum is oneindig en kan met een eindige verzameling zinnen niet volledig worden beschreven’, hebben we in het vorige geval al beredeneerd, het is niet mogelijk.

Verwante vraagstukken kunnen tot inzicht van  ‘oneindigheden’ leiden.

Omdat we dus óók bij het fysische universum nadenken over oneindigheid, continu en discontinu, is het zinvol om langs de ‘lijn’ van de verzamelingen te gaan en de vraagstellingen die daar opduiken te analyseren. Op die manier worden verwante fysische vraagstellingen wellicht duidelijker. We keren dus terug naar de vraag van Rucker: ‘Is Alles gelijk of even groot als Absolute oneindigheid?’. ‘Alles’ houdt in, van A tot Z, al wat er is (of te bedenken valt) is daarin opgenomen. Dat zou betekenen dat ‘Absoluut oneindig is gelijk aan alles’, door ons omvat kan worden, benoemd kan worden of aftelbaar is. Dat is een contradictie want als iets omvat kan worden door óns, wij zelf groter dan ‘Absolute oneindigheid’ zijn. Nu kunnen we natuurlijk stellen, al kunnen we het niet omvatten, dan is ‘Absolute oneindigheid’ misschien zoiets als de natuurlijke getallen. Deze kunnen we aftellen maar niet omvatten, er komt immers geen eind aan. We hebben echter gezien dat de natuurlijke getallen niet toereikend zijn, we hebben de reële getallen nodig, daar hebben we al aanzienlijk minder grip op als op de natuurlijke getallen . En zelfs als we met enige verbeeldingskracht ons kunnen voorstellen tot welke consequenties de reële getallen leiden dan komen we als vanzelf op een ‘ongrijpbaar’ onderwerp uit, een ‘Absoluut continuüm’. We zagen ook dat de beschrijving van een continuüm, lijn, vlak of ruimte, met de reële getallen slechts een benadering is en geen uitputtende beschrijving oplevert. Rucker benadert het probleem van verschillende kanten onder meer door voor ‘Absolute oneindigheid’ het gebruikelijke kardinaalgetal  te nemen (staat voor omega, hoofdletter om het te onderscheiden van de kleine letter voor omega , dat van een kleinere oneindigheid is). We zullen zien dat hoe we het ook belichten  ongrijpbaar is.

Het ‘niet te omvatten’ Ω, hoeft in deelgebieden niet ‘onbegrijpelijk’ te zijn.

In principe is het heel eenvoudig, per definitie is oneindig eigenlijk niet te omvatten, maar om het onderzoek niet in de weg te staan beperken we de uitdrukking ‘niet te omvatten’ tot   het ‘Absoluut oneindige’. Andere zogenaamde oneindigheden zoals weergegeven door de grote kardinaalgetallen als aleph 1, en misschien ook aspecten van de continuümhypothese, geven eigenschappen van  aan. Dat lijkt een contradictie op te leveren, want als je aspecten of eigenschappen kunt benoemen, dan zijn die deeleigenschappen niet oneindig. Toch  hoeft dat geen probleem op te leveren, omdat ‘Absoluut oneindig’ oneindig véél deeleigenschappen kan omvatten, dus als je die eigenschappen als een verzameling wilt zien, dan komt het erop neer dat het een niet aftelbare verzameling is. Omdat als je alle deeleigenschappen als een eindige optelsom zou bezien, dan is  wezenlijk benoembaar én dus eindig. Rucker verwijst in verband met dit probleem naar  Burali Forte, in een artikel uit 1897 waar er op gewezen wordt: ‘dat het ordetype  van de klasse van alle ordinaalgetallen een problematisch begrip is, enerzijds omdat  het grootst mogelijke getal zou moeten zijn; maar anderzijds kan, als we  feitelijk hebben, niets ons ervan weerhouden om  + 1 ( ) te vormen, waardoor  niet het grootst mogelijke getal is. De enige manier om aan dit dillema te ontkomen is beweren dat het Absoluut oneindige alleen bestaat als een ‘ inconsistente veelheid’, zodat  nooit werkelijk een specifiek, voorstelbaar getal is.’ (Rucker: maar waar heb ik het dan over als ik ‘’ zeg?)

Het komt erop neer dat als we  als ‘feitelijk’ oneindig beschouwen, in die zin als we alle deeleigenschappen van  als een feit aanvaarden, we in de verleiding komen  inderdaad als een optelsom zien. Hier stuiten we op ons ‘gebrekkige’ vermogen om begrippen eenduidig vast te stellen. In een onderzoek naar  zullen we bemerken dat hoewel we die ‘deeleigenschappen’ van  , die we kennen, als feitelijk kunnen beschouwen, we tegelijkertijd  als ‘potentieel’ oneindig kunnen stellen. Misschien klinkt het allemaal wat cryptisch, maar  is pas echt ‘Absoluut oneindig’ als het zowel eigenschappen omvat die feitelijk (een feit) zijn, als dat het ‘potentieel’ iedere mogelijke eigenschap kán voortbrengen. Wil ‘Absoluut oneindig’ inderdaad ‘Absoluut oneindig’ zijn dan moeten zowel de feitelijke eigenschappen, als álle potentieële eigenschappen consistent zijn met elkaar. Anders valt het ‘Absoluut oneindige’ in deelverzamelingen uit elkaar, dat wil zeggen in deelverzamelingen van eigenschappen die wél consistent zijn met elkaar . De conclusie kán dus zijn dat alle feitelijkheden, gezien als (deel)verzamelingen consitent dienen te zijn met, in ieder geval, potentiëele oneindigheid.

Feitelijk en potentieel, twee kanten van hetzelfde onderwerp.

We lieten al eerder zien dat de begrippen ‘feitelijk’ en ‘potentieel’ niet zo streng gescheiden dienen te worden. Een definitie over ‘potentieel’ zegt: ‘Potentieel, in aanleg aanwezig, nog niet in werking, maar verwezenlijkt kunnende worden’.  Je zou ook kunnen zeggen: ‘de mogelijkheid in zich hebbend om feitelijk, een feit te worden, indien dat nodig is’. Een feit is dus een potentie die werkelijkheid is geworden. Dat feiten potentiële oneindigheden zijn die werkelijkheid zijn geworden, wil nog niet zeggen dat we die potentiële ‘oneindigheden’ zomaar kunnen begrijpen. De vele opmerkingen over ‘oneindigheden’ laten dat zien. Het is echter zaak indien we iets van die werkelijkheden willen begrijpen we de verwijzingen naar ‘oneindigheden’ niet onder de mat moeten schuiven, maar trachten te begrijpen, als we dat proberen dan zullen de ‘feitelijkheden’ ook beter begrepen worden. Het zou al winst zijn als we leren begrijpen waar ‘feitelijkheden’ verbonden zijn met ‘potentiële oneindigheden’.

Drie formuleringen om het begrip oneindig te benaderen.

Over oneindig kan dus heel wat gezegd worden, het gaat er echter om, voor zover het te begrijpen valt we duidelijkheid krijgen over wat we precies bedoelen. Na uiteengezet te hebben hoe we het begrip kunnen benaderen komt een woordenboek tot de conclusie: ‘Dat vele strijdvragen in de filosofie van de wiskunde de interpretatie van het begrip oneindig betreffen.’ Dit woordenboek  benadert het probleem op drie manieren, die we zullen volgen: ‘Oneindig, dat wat geen grens heeft en aldus tegengesteld is aan ‘eindig’. Dit kan op drie manieren begrepen worden. a. wat in alle opzichten elke grens uitsluit: het absoluut oneindige; b. wat in een bepaald opzicht elke grens uitsluit: het relatief oneindige; c. wat niet beëindigd kan worden en tevens immer voor vermeerdering vatbaar is, zoals bijvoorbeeld de verzameling van de gehele getallen, of van alle punten van een lijn.’ Dit toelichtend, als we punt a. bekijken dan is het niet moeilijk in te zien dat we over  spreken als: ‘élke grens uitsluitend’. Punt b. zou bijvoorbeeld over de reële getallenlijn kunnen gaan: ‘wat in een bepaald opzicht elke grens uitsluit’. In een bepaald opzicht kan betekenen dat er geen grens is aan het invullen van die getallenlijn. Dat is toch iets anders dan de ‘ruimtelijke oneindigheid’ van een wiskundige ruimte, en al helemaal van , ‘Absolute oneindigheid’. Dan hebben we nog punt c. Dat zou de natuurlijke getallenlijn  kunnen zijn: ‘wat niet beëindigd kan worden en tevens immer voor vermeerdering vatbaar is’.

Als we deze formulering op een hiërarchise manier bekijken, dan kunnen we een idee krijgen van hoe alles in elkaar zit, of beter nog hoe eindige dingen voortkomen uit oneindigheid. Omdat we nooit een alomvattend inzicht in het Absoluut oneindige kunnen krijgen, dienen we ons onderzoek van onder af aan te beginnen. Eigenlijk in die zin zoals ik in verband met fysische gegevens op verschillende plaatsen liet zien dat eindige dingen consequent doorgeredeneerd in ‘oneindigheden’ overgaan. Om het probleem van ‘oneindigheden’ uit de weg te gaan, neemt men over het algemeen afgeronde, finitistische uitkomsten, om tot een ‘sluitend’ overzicht te komen. De rest wordt genegeerd, het is logisch dat zo’n methode op den duur vast loopt.

De Planckmaten en oneindigheid.

Misschien lijkt het erop dat het idee van ruimtetijdquanta, de oneindigheden voorgoed uit de weg zal ruimen, omdat een ruimtetijdquantum van de kleinst mogelijke getallen uitgaat, de Planckmaten. In verschillende delen komt echter naar voren dat er sterke aanwijzingen zijn voor een préplanck stadium. Ogenschijnlijk leidde dat ook tot moeilijkheden, zoals bijvoorbeeld een begrip als tijd maal energie, met waarden kleiner dan de constante van Planck. Die moeilijkheden ontstaan alleen maar door de visie dat alles berekenbaar dient te zijn. Ook levert het problemen op als we van het standpunt uitgaan dat het heelal dat wij waarnemen alles is wat er is.

` In verband met dit soort problemen zou de ‘verzamelingenleer’ ertoe bij kunnen dragen om een reëlere kijk te krijgen op eindigheden die overgaan in oneindigheden. Cantor’s uitgangspunt was gebaseerd op een driedeling: 1) ‘het Absoluut oneindige. 2) materiële oneindigheden en 3) wiskundige oneindigheden. Over 1 heb ik al het een en ander vermeld, hier wil ik 2 en 3 toelichten zoals Cantor ze beschreef: ” 2 voor zover het in de afhankelijk geschapen wereld voorkomt en 3 voor zover het in de geest in abstracto kan worden opgevat als een wiskundige grootheid, een getal of ordetype. In 2 en 3 waarin het feitelijk oneindige duidelijk begrensd blijkt te zijn, verder kan toenemen en derhalve verwant is met het eindige, noem ik het het Transfiniete in tegenstelling tot het Absolute.”   Het Transfiniete uitgedrukt in getallen komt overeen met de de vele niveaus tussen het eindige en het Absolute Oneindige. Deze getallen zijn zelf ook oneindig, maar in tegenstelling tot het Absolute Oneindige voor te stellen. Het is duidelijk dat deze visie van Cantor voortkomt uit zijn idee dat er ‘graden van oneindigheid bestaan’. Hoewel we dit niet hoeven af te vallen, liet ik zien dat het enigzins genuanceerder bezien moet worden, omdat de oorspronkelijke visie tot nogal wat paradoxen leidt. Het begrip transfiniet betekent: Over (trans) eindig (finiet). Het laat duidelijk zien waar we naar toe moeten: ‘voorbij het eindige’. Het geeft ook aan dat ‘finiete’ uitgangspunten tekort schieten. Transfiniete getallen worden ook wel ‘ordinaalgetallen’ genoemd. Ordinaal is verwant met ordineren in de betekenis van ordenen, dat is wat ordinaalgetallen pretenderen te doen. Ze ordenen oneindige afleidingen uit eindige ordeningen , Persoonlijk vind ik geeft het begrip afleidingen beter aan waar het omgaat dan verzamelingen, omdat je bij het begrip verzamelingen toch altijd het idee krijgt dat het om afgeronde hoeveelheden gaat. Terwijl het bij dit soort onderwerpen uiteindelijk gaat om voortgang van eindige dingen in steeds verdergaande oneindigheden, die tevens steeds vager, waziger, ongrijpbaarder worden. Of hoe je het ook wilt noemen. Dit laatste wil niet zeggen, minder en minder reëel, maar inherent onkenbaarder.

In de spraakkunst heb je het begrip ordinalia: rangtelwoorden. Insgelijks kun je ordinaalgetallen ‘rangtelgetallen’ noemen, ze zijn van verschillende ordeningsgraden of systemen. Rucker  komt  in een beschrijving van wat ordinaalgetallen nu eigenlijk zijn, tot de volgernde gedachte: “Kenmerkend is dat een ordinaalgetal a wordt beschreven door een voorbeeld te geven van een geordende verzameling M zodanig dat áls men M in de juiste volgorde kan tellen , men kan tellen tot a; a wordt dan gezien als het abstracte orde-type van M, kortweg M (bij Rucker met bovenliggend streepje). Het ordinaalgetal M werd verkregen uit de geordende verzameling M door de werkelijke plaats van de afzonderlijke elementen te negeren en in plaats daarvan juist te kijken naar de schikking of ordening van deze elementen.” Hierin zit een merkwaardig punt (misschien niet zo bedoelt). Je zou toch zeggen dat wil je de  ‘schikking of ordening’ van de elementen van een verzameling leren kennen, je dan toch afhankelijk bent van de werkelijke plaats van de elementen in de verzameling. Als de elementen verschillen naar hun aard dan maakt het toch wel uit waar zo’n element zich bevindt in de verzameling. Het geeft in ieder geval aan dat ordinaalgetallen zo beschouwd iets leren over de ordening van verzamelingen. Nu zegt Rucker dat ordinaalgetallen voortkomen uit het tellen, weliswaar het tellen met ordinaalgetallen, Vooruitlopend op mijn verdere uiteenzetting lijkt mij dat je aan het principe van ordening moet vasthouden, want behalve de zogenaamde gewone ordinaalgetallen heb je de ‘grote’ transfiniete ordinaalgetallen: de kardinaalgetallen of de aleph’s genoemd. Kunnen nu deze aleph’s beschouwd worden als ordeningen (schikkingen) van verzamelingen van ‘gewone’ ordinaalgetallen?

Kunnen oneindige verzamelingen tot inzicht in fysische structuren komen?

Als dat zo is dan zou je geleidelijk aan van eindige verzamelingen uitgaand meer te weten kunnen komen over hoe deze in oneindigheden overgaan, en dus de verhouding tussen eindig en oneindig. Dat kan van belang zijn om de achtergronden van quantummechanische structuren te plaatsen in een verhouding met een coherente achtergrond. En wel een vacuüm achtergrond die op zijn beurt te maken heeft met een oneindige achtergrond, waarvan we na alles logisch hebben nagegaan zullen zien dat, dat ‘Absolute oneindigheid  ‘ betreft. In wiskundige zin maar mogelijk ook in fysische zin, omdat álle (oneindige) verzamelingen daarin uitmonden. We zeggen ‘uitmonden in’, niet dat alle eindige en oneindige verzamelingen bij elkaar  voorstellen. Dat zou niet kunnen omdat  dan niet Absoluut zou zijn. Ziet U hier de drie definities: a, b, en c,  zoals die door Cantor verwoord werden? Misschien is het inderdaad mogelijk om met behulp van verzamelingen, een nieuwe of achterliggende beschrijving te geven van quantummechanische verschijnselen. Onduidelijkheden en/of filosofische benaderingen die géén uitsluitsel geven, zouden in een nieuw licht komen te staan. Het zou onderwerpen kunnen betreffen als ‘het onzekerheidsprincipe’, dat eigenlijk wellicht alleen maar ‘onzeker’ is omdat we de verhouding van eindige dingen (zoals positie en impuls) tot oneindigheden niet begrijpen. Evenzo zou dat kunnen gelden voor ‘waarschijnlijkheids berekeningen’, die ontstaan omdat we niet weten waar en hoe bepaalde gegevens uit oneindigheden voortkomen. In andere delen vinden we daarover meer.

De rol van ‘ordinaalgetallen’ bekeken.

Nu terug naar de ordinaalgetallen. Rucker geeft daarvoor twee principes : ’1. als je het ordinaalgetal a hebt, kun je een volgend ordinaalgetal, a + 1 genaamd vinden; 2. als je een of andere duidelijke stijgende rij ordinaalgetallen a hebt, dan kun een laatste ordinaalgetal vinden dat groter is dan alle a’s, lim (a) genaamd’. Lim (a) betekent eigenlijk de limiet van een rij ordinaalgetallen a’s, die samen een oneindige verzameling vormen, maar waarvan het onmogelijk is een laatste a zodanig te formuleren dat er daardoor een definitief (finitistisch) einde vastgesteld kan worden. Als dit al onmogelijk lijkt dan wordt het alleen maar moeilijker als we voorbij lim (a) willen komen, toch is dat wat in de verzamelingenleer wordt gedaan. Voorbij lim (a) is eigenlijk voorbij de oneindige rij van oneindige kardinaalgetallen zien te komen. Dat is nodig, we moeten verder, het doel is  het Absolute oneindige. Nu lijkt de eenvoudige opzet zo te zijn, dat we gewoon tellen a, a + 1; (a + 1) + 1; ((a + 1) + 1)) + 1; en zo verder, en verder en verder…….tot oneindigoneindig. Maar dat lijkt teveel op tellen, hoewel Rucker beredeneert dat ordinaalgetallen uit het tellen voortkomen. Toch is dat niet waar we naar streven, het ging om ordeningen. Het ordinaalgetal M verkregen we juist door niet te tellen maar te kijken naar de schikking of ordening van de elementen. Daar gaat het om bij iedere volgende stap, en wat is die stap? Dat is niet een verzameling tot in het oneindigeoneindige, neen we zoeken naar ordeningen van ‘ordeningen’. Dat wil zeggen willen we de fysische wereld begrijpen en hebben we gereedschap als de verzamelingenleer in handen, dan zoeken we naar ordeningen in die fysische wereld. Te beginnen bij eindige ordeningen, waarvan we al gauw merken dat deze onderdeel zijn van oneindige ordeningen. Hierin zijn twee wegen te bewandelen de omvattendste is die, die leidt naar ordeningen, die vervolgens opgenomen worden in grotere ordeningen, die op hun beurt weer opgenomen worden in weer grotere ordeningen. Dit proces mondt uit na een n aantal stappen in de genoemde ‘oneindige achtergrond’, analoog aan de genoemde  in de verzamelingenleer. De tweede weg bestaat er uit dat iedere ‘fysische ordening’ zelf ook een verbinding heeft met de ‘oneindige achtergrond’ overeenkomend met . Het doel is dus om aan te tonen dat op ieder schaalniveau ordeningen verbonden zijn met de ‘oneindige achtergrond’.

Met ‘limiet volgend op limiet’ komen we in de richting van Ω.

Wat de verzamelingenleer betreft laat Rucker zien dat je dus inderdaad niet domweg moet tellen, maar nadat we lim (a) gesteld hebben als ‘afronding’ van ons uitgangspunt de verzameling M, gaan we verder door met een ‘grotere’, omvangrijkere, verzameling. Daaraan stellen we opnieuw een limiet deze keer lim (n) genaamd, dat deden we door opnieuw principe 2 toe te passen. Rucker zegt dat lim (n) meestal  (‘omega’) genoemd wordt. Als we dit proces keer op keer herhalen dan komen we eindeloos dichtbij , maar we bereiken het nooit helemaal. Dat is consistent, in ieder geval met Gödel, maar ook met allerlei processen in de fysica, die oneindig doorlopen zonder tot een defintief (finitistisch) einde te komen. Helaas wordt dit nog nauwelijks erkend, niettemin is het noodzakelijk willen we verder komen.

Zeno te hulp geroepen?

Wat Rucker betreft geeft hij nog een voorbeeld (model) hoe je met behulp van Zeno ordinaalgetallen voorstelbaar kan maken. Het gaat er eigenlijk om, zoals in het voorgaande om ‘voorbij de oneindige rij van oneindige ordinaalgetallen te komen’, maar tegelijkertijd iedere deelordening tot in het oneindige uit te breiden. Hij gaat uit van 4 verzamelingen: M1, M2, M3, M4. In alle vier de gevallen ligt de verzameling punten tussen nul en een.  Zoals gezegd volgt Rucker Zeno. we bekijken de eerste verzameling, M1, dan bepalen we volgens Zeno eerst de helft van de weg tussen nul en een, dan de helft van de helft, dan de helft van de helft, de helft van de helft enz……….We hebben dus omega stappen nodig om er te komen, weergegeven door . De tweede figuur, verzameling M2 , wordt verkregen door een kopie van de eerste figuur tússen de punten van de eerste figuur te plaatsen, we krijgen dan 2. De derde figuur, de verzameling M3, wordt verkregen door een kopie van de tweede figuur tússen de punten van de eerste figuur te plaatsen, we krijgen dan 3, althans als we….. . Dan rest nog de vierde figuur, die ontstaat door het proces van de eerste drie figuren eindeloos te herhalen en vervolgens een kopie van elk van de figuren bij elkaar te voegen.

Deze hele procedure is eigenlijk niets anders dan de reële getallenlijn tot in het oneindige doorgevoerd, met Zeno heeft het eigenlijk niet meer te maken dan de methode om de ‘lijn’ tussen nul en een te halveren, en te halveren, te halveren, ………..Dat moet dan leiden volgens Rucker tot een ‘voorstelbaar’ zijn van de transfiniete ordinaalgetallen. In ieder geval is dan, volgens hem, mogelijk dat een transfiniete rangschikking van punten in een eindige ruimte kan worden ingepast. Die ‘eindige ruimte’ is dan het lijnstuk tussen nul en een, waarvan we zagen dat je dan net zo goed een punt kunt nemen waar je alle reële getallen op plaatst. Het ‘voorstelbare’ vraagt natuurlijk veel van ons ‘voorstellingsvermogen’, zoals we al zagen bij mijn poging om van de reële getallenlijn tot een reële getallenkubus te komen. Misschien dat de procedure van Rucker een soortgelijk doel nastreeft, maar als zijn besluit is zoals hij zelf vermeldt ‘de transfiniete rangschikking van punten in een eindige ruimte’, dan komen we niet verder dan het voorstelbaar maken van de ‘oneindige’ ruimte (als je al over ruimte kan spreken, want een dimensionaal) binnen een lijnstuk tussen nul en een. Het is dan ook nog maar de vraag of deze procedure ‘wiskundig’ uit te voeren is, want hoe kwam hij ook al weer aan de vierde figuur? Zijn voorstel was: ‘De vierde figuur wordt verkregen door eerst het proces van de eerste drie figuren eindeloos te herhalen… en vervolgens een kopie van elk van de figuren bij elkaar te voegen’. Als we zijn betoog verder volgen dan blijkt al snel dat we tot steeds grotere ordinaalgetallen komen . Het hele proces blijkt niet uitputtend behandeld te kunnen worden. De vraag rijst dan ook of je in werkelijkheid kopiën kunt maken van processen die eindeloos doorlopen.

Het probleem is telkens weer hetzelfde.

Het levert een contradictie op want een kopie veronderstelt een afgebakende afbeelding, hoe dan ook, en die is niet te verkrijgen. Het gaat maar door, en door, en door….! Het probleem ontstaat dan ook omdat men steeds weer probeert grip te krijgen op oneindigheden, door ze voorstelbaar te maken met eindige entiteiten. Omdat meestal beseft wordt dat dergelijke procedures niet hard te maken zijn, gebruikt men symbolen die zulke procedures weergeven. Dat is maar een betrekkelijke oplossing. Een symbool geeft meestal géén voorstelbare realiteit. Bewerkingen gedaan met zulke symbolen geven meestal een resultaat met weer nieuwe symbolen, waarvan de winst misschien kan zijn dat ze een voorafgaand aantal symbolen vervangen door één nieuw. Zo’n nieuw symbool zou nuttig zijn indien een probleemstelling erdoor vereenvoudigd zou worden, meestal is het nieuwe symbool complexer dan de voorafgaande. Rucker’s conclusie is dan ook: ‘Wie probeert steeds grotere ordinaalgetallen te bedenken komt in een eindeloos moeras terecht. iedere methode die je bedenkt om grotere ordinaalgetallen te benoemen loopt uiteindelijk dood en de ordinaalgetallen blijven maar komen. Tenslotte zie je misschien even, in een flits, wat het Absolute oneindige betekent. Vervolgens probeer je deze inval te formaliseren en vind je een nieuw systeem om ordinaalgetallen te benoemen… dat opnieuw doodloopt…’. En dat was dan een conclusie na een onderzoek van wat ‘aftelbare’ ordinaalgetallen genoemd wordt. In het vervolg hiervan wordt de procedure nog eens dunnetjes overgedaan, maar dan met kardinaalgetallen, de zogenaamde alefs. Na dat een poosje gevolgd te hebben  zien we dat we tot dezelfde conclusie komen als Rucker: ‘Is dit het einde? Het ontdekken van transfiniete getallen komt nooit tot een einde. (Dan volgt het ene kardinaalgetal na het andere) enzovoort, een wereld zonder einde’. Hier houdt het voorstellingsvermogen op, Rucker zegt hierover: ‘Volgens het reflectieprincipe is het onmogelijk je een voorstelling te maken van een einde van de reeks van ordinaalgetallen’. Dit laat zien dat, in ieder geval in de wiskunde, er verzamelingen mogelijk zijn die tot in het oneindige doorgaan, zonder dat je daar grip op kunt krijgen. Rucker merkte op dat je misschien een glimp kan opvangen van het Absolute oneindige, maar formaliseer je zo’n glimp om weer nieuwe ordinaalgetallen te formeren, dan loop je opnieuw dood.

De consequentie is Ω te aanvaarden.

Dat betekent twee dingen. Ten eerste dat formele systemen niet finitistisch kúnnen zijn, geen exact afgeronde rekenstelsels oplevert, dat is ook door Gödel bewezen. Niettemin gaan formalisten er toch vanuit. Is het nu mogelijk om daar vrede mee te hebben? Ja en nee, als je in zekere zin aan de oppervlakte blijft, ja. Vroeg of laat echter kom je onderwerpen, gegevens of waarnemingen tegen die binnen de bestaande formalismes niet verklaard kunnen worden. Alle gegevens in fysica en astronomie op een rijtje gezet, laten zien dat we ook daar op onderwerpen stuiten die binnen de gebruikte formele systemen niet verklaard worden. Ten tweede als uit de verzamelingen blijkt dat je nooit tot een einde komt, en je je dat ook niet kunt voorstellen dan is een logisch gevolg dat er iets overkoepelends moet zijn. Meestal ‘Absolute oneindigheid’ genoemd. Evenzo is het mogelijk dat we bij  iets soortgelijks uitkomen via de fysische ‘werkelijkheid’. De hele opzet van dit onderzoek laat zien dat, dat minder vreemd is dan het op het eerste gezicht lijkt. Wat Rucker en  de verzamelingen leer betreft is er iets dergelijks voorbij alle ordinaalgetallen: “Wel bestaat er een symbool Ω, de grote omega, dat we gebruiken ter aanduiding van de Absolute oneindigheid voorbij alle ordinaalgetallen. Maar Ω is onvoorstelbaar. Het reflectieprincipe preciseert dit door te stellen dat elke denkbare beschrijving van D of Ω toepasbaar is op een of ander ordinaalgetal a kleiner dan Ω.” Dat is een interessante opmerking, het geeft aan dat elke mogelijke beschrijving van Ω verband houdt met elk mogelijk denkbaar ordinaalgetal. Op zich is dat al een aanduiding van het bestaan (wiskundig) van Ω. In het volgende wordt dit benadrukt: “Ω wordt Absolute oneindigheid genoemd omdat het geen relatief begrip is. De lijn van ordinaalgetallen die tot Ω leidt bevat álle ordinaalgetallen, alle mogelijke stadia van het tellen. Ω is geen echt ordinaalgetal, omdat ieder mogelijk ordinaalgetal vóór Ω voorkomt. Dit klinkt allemaal erg verwarrend”. Het is alleen maar verwarrend als we alles in ‘ordinaalgetallen’ willen vangen, of liever gezegd als we er geen vrede mee hebben dat niet alles benoembaar is.

Kunnen we Ω aanvaarden zonder dat er contradicties opduiken?

Ω is dus de Absoluut oneindige eenheid, een eenheid die ‘iedere grens uitsluit’ . Dat lijkt een contradictie op te leveren, immers een ‘eenheid’ of ‘ene’ wordt normaal opgevat als een afgerond benoembaar geheel. Echter hier komen we op de ware aard van het Absoluut oneindige, een eenheid in dit verband kunnen we zo noemen omdat er niets in die ‘eenheid’ kan en mag zijn dat inconsistent is met wat dan maar ook voor eigenschap van het Absoluut oneindige. De uiterste consequentie van de verzamelingenleer is dus te leren begrijpen, mogelijk onbewijsbaar, dat Ω, het Absoluut oneindige, alles omvat wat wij kennen en bovendien alles wat we nog niet kennen. Welke eigenschappen wij ooit nog zullen leren kennen, ze zullen altijd in overeenstemming moeten zijn, met die eigenschappen die wij reeds kenden. Rucker verwoordt dit in beginsel zo: “Een verzameling is een vorm of een gedachte die wél objectief te kennen is, die je geest kan verwerken en kan onderzoeken zonder dat je daarbij je rol als waarnemer hoeft op te geven.” Verzamelingen behoren natuurlijk tot een wiskundig abstracte wereld, maar als we deze gedachte transponeren naar de werkelijke wereld dan betekent dit dat naar analogie van de oneindige aspecten van de verzamelingenwereld, wij altijd weer vormen of gedachten van ‘oneindigheid’ objectief kunnen leren kennen, zonder vast te lopen. Dat is een zeer aanmoedigende gedachte en lijnrecht tegenover opvattingen als ‘het einde van alle wetenschap’, maar ook tegenover ‘theoriën van alles’. Het bereiken daarvan zou dan leiden tot Hawkings uitspraak: ‘dan zijn we de meesters van het heelal’ en ‘kennen dan de geest van God’, voorbarige uitspraken, waar we verder dan ooit vandaan zijn.

De ‘onvolledigheidsstelling’ van Gödel is essentieel om tot een beter inzicht te komen.

Een opmerkzaam lezer, die op de hoogte is met de ontwikkeling die door Gödel op gang is gebracht, zal wellicht al opgemerkt hebben dat veel in het voorgaande overeenkomt met wat Gödel in zijn onvolledigheidsstelling vastlegde. Namelijk dat ieder welgeformuleerd rekensysteem (iedere verzameling), altijd een stelling (een opvolger ordinaalgetal) kan voortbrengen die niet binnen dat systeem bewezen kan worden , maar eraan toegevoegd moet worden). Zo kan dus ieder rekensysteem (net als iedere verzameling) uitgebreid worden, en daardoor een nieuw, uitgebreider rekensysteem (een nieuwe uitgebreidere verzameling) vormen. Dat alles toont aan dat wat we ook maar bedenken, en dat kan oneindig veel zijn, het nooit tot een finitistische exact afgeronde eenheid kan komen. Maar daar gaan we dieper op in, in het volgende deel 6.5.