6.3 De verhouding eindig oneindig

6.3 Twee vraagstellingen die de verhouding eindig – oneindig onderzoeken.

Als eerste: ‘Oneindigheden in de denkwereld’.

We beginnen met Rudi Rucker , meteen maar met een prangende vraag die tot nu toe niet naar tevredenheid is opgelost: “Zijn geest en hersenen identiek? Als je a priori aanneemt dat een gedachte niets meer is dan een bepaalde biochemische configuratie in een bepaald eindig gebied van de materie, volgt automatisch dat oneindige gedachten niet mogelijk zijn, (tenzij materie oneindig is).” Dat hoeft niet zo te zijn, want die bepaalde biochemische configuraties in een bepaald eindig gebied van de materie, de hersenen dus, zouden een zekere doorlopendheid of uitgebreidheid kunnen hebben. Wat bedoel ik daarmee? Een doorlopendheid, geïllustreerd door bijv weerstandsloosheid bij of nabij het absolute nulpunt kan tenzij verbroken eindeloos doorgaan . Dat lijkt op denken in ideale omstandigheden. Op de een of andere manier hebben we het vermogen een denkwijze (‘n gedachte, Rucker) te verbreken. Dat vermogen duidt op zijn beurt op een biochemische configuratie op een andere plaats in de hersenen. In sommige gevallen werkt dat niet, we zijn overspannen. We gaan, zoals men dat noemt, ‘malen’, als maar door, door, door, ……… het is logisch dat, dat op de een of andere manier verbroken zal worden, maar in principe zou je, als je de opeenvolgende gedachtes voorgesteld door een biochemische configuratie kunnen zien als elementen van een oneindige verzameling. Dat is natuurlijk een negatief voorbeeld, maar in positieve zin kan dat net zo goed en ook al zijn wij niet bij machte om op zo’n manier met oneindige gedachten om te gaan, in beginsel is het principe aanwezig. We zouden van vermoeidheid in slaap vallen, maar zelfs dan gaan meestal deze gedachten- verzamelingen door, zij het dat ze geen welgedefinieerde verzameling meer opleveren.

De mogelijkheden zijn al bijna oneindig.

Het is te simpel om ‘n gedachte te koppelen aan één bepaald gebied. Iedere gedachte roept associaties op, dat wil zeggen, iedere biochemische configuratie zoekt of legt verbindingen met andere biochemische configuraties. Er zijn denkt men zo’n 50 miljard neuronen, die met elkaar door zo’n duizend biljoen synapsen, verbindingen leggen. Dat schept de mogelijkheid om per sec. zo’n tienduizend biljoen signalen door te geven. Dat op zich geeft al een gigantisch aantal mogelijkheden en komt op ons over als oneindig. Behalve dat, is het ook mogelijk dat alles gecomprimeerd wordt opgeslagen en er een mechanisme is dat het weer ‘uitpakt’ zoals met software kan. Mogelijk werken de hersenen met symbolen, zodat er biochemische configuraties zijn die in meerdere ‘contexten’ passen, zodat zo’n symbool aan uiteenlopende gedachtegangen meewerkt, wellicht in die zin dat deze symbolen afhankelijk van hun plaats in een gedachteconstructie een andere betekenis krijgt, zoiets als woorden (zinsdelen) afhankelijk van de context waarin ze voorkomen, hun definitieve betekenis krijgen. Dat zou natuurlijk het aantal mogelijkheden enorm  vergroten. Dit hele beeld is niet iets dat ik poneer als een oplossing voor het probleem van hersenen en geest, of deze identiek zijn. Dat valt buiten het bestek van dit boek, het wil alleen maar aangeven dat we niet te snel moeten zeggen dat als materie eindig is onze gedachten dat automatisch ook zijn

Kunnen onze gedachten als een eenheid opgevat worden, of bestaan ze uit ontelbaar ‘vele’?

Als we al de configuraties, de ene roept de ander op, als een verzameling zien dan komt hier het ‘ene/vele’ probleem om de hoek kijken. Doorgaans ‘zien’ we het totaal van onze gedachten als een geheel, ‘het ene’, maar ga je jezelf maar eens analyseren dan kom je al snel tot het besef dat onze gedachten ‘vele’ zijn (ik hoop dat u ze in bedwang kunt houden). Als het uitgangspunt nu is dat een eindige materiële configuratie als ons (ontzagwekkende) brein, oneindige gedachten onmogelijk maken, dan moeten we ook aannemen dat zo’n verzameling van gedachten (begingedachte, associaties en/of vervolggedachten) aftelbaar is, ’n afgeronde verzameling. De ‘vele’ zijn tot ‘ene’ geworden, de verzameling van gedachten. Maar wat blijkt nu? We kunnen er altijd nog ’n gedachte aan toevoegen – ’n gedachte die bijvoorbeeld de hele verzameling van gedachten in ogenschouw neemt, of ze analyseert. De ‘ene’ de verzameling van gedachten is dan niet ‘n ‘ene’, maar in het gunstigste geval, een ‘ene’ + een extra gedachte, ’n nieuwe verzameling dus. Als het minder gunstig is dan gooit die nieuwe (analyse) gedachte de hele verzameling overhoop, alle elementen krijgen of een andere betekenis of een andere plaats in die nieuwe verzameling, maar dat terzijde het gaat om het principe. We zijn er nog niet want die nieuwe verzameling kan, als we heel wakker zijn, op zijn beurt ’n gedachte oproepen, die ook weer de hele voorgaande verzameling beschouwt of analyseert. Vervolgens , U snapt het al, het hele verhaal nog eens, en nog eens, enz. enz. …Wat krijgen we dus? Een verzameling gedachten plus een, plus een, plus een, enz… Dat geeft een gevoel van oneindigheid. We hadden het ook over doorlopendheid, het denkproces kan doorlopen (in principe eindeloos) tot wij het verbreken (wij zijn het beu, soms heel verstandig). Het is ook uitgebreid, er kunnen steeds nieuwe gedachten aan toegevoegd worden, zodat je een proces krijgt van ‘vele’ de gedachten die tot ‘ene’ worden, op dat moment ogenschijnlijk een afgeronde verzameling (hebben we even rust). Op zijn beurt wordt deze verzameling weer tot ‘vele’ door de toegevoegde gedachte, zoals voorgaand beschreven, waarna ze weer tot ‘ene’, een nieuwe verzameling, wordt.

In de praktijk lijkt het erop dat we over ‘oneindigheden’ kunnen denken.

In principe is het dus mogelijk om met eindige materiële neuronen over oneindigheden na te denken. Consequent doorgeredeneerd zitten we dus met het ‘ene/vele’ probleem. Het oneindige proces is aanwezig, maar in de praktijk moeten we noodgedwongen afhaken en ons bezig houden met eindige gedachtenconstructies. Dat betekent dat het denken in ‘vele’ makkelijker is dan denken in ‘ene’, omdat zoals we zagen er telkens als we menen een  geheel overzicht hebben van ‘het ene’ er steeds weer ‘vele’ (nieuwe gedachten) aan toegevoegd kunnen worden. De bijbel verwoordde het al lang geleden: “Alles heeft hij fraai gemaakt op zijn tijd. Zelfs onbepaalde tijd heeft hij in hun hart gelegd, opdat de mensheid het werk dat de [ware] God heeft gemaakt, nooit van het begin tot het eind kan doorgronden.” Ook Gregorius had daar al ideeën over  “We kunnen denken wat we willen, maar komen nooit tot wat God is (in absolute zin) maar tot wat onder hem is.”

Minder omvattend dus dan God zelf, verwoordt dus door Ω (Grieks omega) het absolute oneindige. Zonder hier op dit moment daar stelling in te nemen, is het toch merkwaardig, dat in de verzamelingenleer (voor zover we die begrijpen) dit soort ideeën, die doorgaans als religieus of metafysisch worden afgedaan, voorkomen. De verzamelingenleer ondersteund dus dergelijke ideeën. Oneindige verzamelingen? Misschien ja, maar vaststellen wat bijvoorbeeld Ω het absolute oneindige is, nee daar is ook de verzamelingenleer niet toereikend voor. Ook al kan dat niet, toch is dat nog geen reden om er ontkennend op te reageren. Als onderzoekingen of  logische redeneringen tot zulke gedachten leiden, dan is het bepaald onwetenschappelijk om dan maar te zeggen dat kan niet. Al eerder hadden we het over het atheïsme dat door zijn invloed tot vooringenomen ideeën leidt, in twee richtingen komt dit tot uiting. Ten eerste in het idee dat men wel eens met ‘finitisme’ omschrijft en dat de verwachting inhoudt, dat men ooit alles, van a tot z exact, zal kunnen beschrijven. Ten tweede de denkrichting die onder andere door de quantumtheorie beïnvloed is, namelijk dat alles op waarschijnlijkheden berust en dat de ene uitkomst niet persé boven de andere staat. Veelal meent men daardoor dat oorzaak en gevolg geen betekenis heeft. De conclusie in verband met het ‘ene/vele’ moet dan ook zijn, dat we vanuit afgepaste eindige eenheden  kunnen doordenken in de ‘richting’ van oneindigheid. Soms probeert men met voorbeelden duidelijk te maken dat we wel in staat zijn om ‘het ene’ te denken. Een eenvoudig voorbeeld is bijvoorbeeld 1/3 dat we ook kunnen schrijven als 0,33333333333333……… Het is duidelijk dat daar geen eind aan komt, maar kunnen we ons er een beeld van maken? Dat is maar net zo als je het opvat, als je het kunt opbrengen (je kunt inleven) om een idee te hebben van eindeloos veel drietjes, ja dan zie je misschien ‘het ene’. Anderzijds is je denken anders ingesteld en ervaar je dit als alsmaar drietjes achter elkaar, dus zie je ‘het vele’ We kunnen veel andere voorbeelden bedenken, feit is dat, dat soort overwegingen betrekkelijk zijn. Veel meer dan een erkenning van oneindigheid en het denken in de richting ervan zit er niet in. Tenzij we andere denkprocessen leren ontwikkelen. Deels is dat opzet van dit boek, of op zijn minst te proberen er wat vertrouwder mee te worden. Het uitgangpunt van Rucker was, dat oneindige gedachten niet mogelijk zijn als materie eindig is. In het bovenstaande heb ik geprobeerd een aanzet te geven voor een optie dat het wel degelijk mogelijk is om in oneindigheden te denken (of op zijn minst in de richting ervan), ook al is de materie eindig. In dit geval dus de neuronen, synapsen en de verbindingen die gemaakt worden.

Het denken over ‘oneindigheden’ wil nog niet zeggen dat we ‘Absolute oneindigheid’ kunnen bevatten.

We moeten echter een onderscheid maken tussen een begrip van wat wij over oneindigheden kúnnen hebben, en ‘absolute oneindigheid’, zoals verwoordt onder het begrip ‘Omega’ (Ω). De gedachten hierover tonen aan dat, dat begrip niet te omvatten is. Het begrip ‘oneindigheden in de denkwereld’ kan ondanks dat de benodigde materie niet oneindig deelbaar is, toch een bepaalde vorm van oneindigheid in het denken voortbrengen. Hier passen twee kanttekeningen bij, ten eerste: ook al bestaat de benodigde materie uit bijna ontelbare eenheden, die eenheden zijn toch beperkt. In theorie moet het mogelijk zijn het hele brein van een enkel mens in kaart te brengen, of het lukt is een ander verhaal. Ten tweede: ook al is er een grens aan ons denken, vanwege het voorgaande, uit alles blijkt dat mensen toch geneigd zijn om grenzen te verleggen. Dat blijkt uit de geschiedenis, je hoeft maar na te gaan wat men zoal gedacht heeft, en je bent geneigd om te erkennen dat de grens aan het ‘denken’ nog lang niet bereikt is. Nu gaat dit vanzelfsprekend over ‘het denken’ van de hele mensheid, maar individueel kunnen we soortgelijke ontwikkelingen doormaken, zij het dan dat er een andere grens opduikt, onze dood. In principe heeft ons brein echter een capaciteit die toerekend is voor véle jaren meer dan zo’n tachtig, negentig of zelfs dan honderden jaren. Echter zou je kunnen redeneren dat zelfs een brein dat toereikend is voor meer levens dan wij mogen ervaren, toch eens vol raakt. Dus toch niet oneindig? Het is wellicht mogelijk dat wij een bepaalde soort van ‘oneindig denken’ in ons brein hebben, maar dat niet álles wat wij ooit eens gedacht hebben opgeslagen blijft. Men denkt dat verbindingen tussen neuronen aangelegd, maar ook weer verbroken kunnen worden. Het oneindige denken zit hem dus niet zozeer in een eventuele mogelijkheid om ‘oneindig veel gedachten te kunnen opslaan’, het is veeleer het proces zelf dat oneindigheids trekken vertoont, en dat zoals we al zeiden afgebroken wordt door onze beperking in jaren van leven.

Zou materie eindeloos deelbaar kunnen zijn?

Zo komen we vanzelf op de tweede vraagstelling uit. Rucker  belicht dit, na een uiteenzetting over de ontdekking van tal van deeltjes naarmate de onderzoeksinstrumenten verbeteren, als volgt: “Bovendien leert de geschiedenis van het materieonderzoek dat er naarmate de meetinstrumenten beter worden altijd meer soorten nieuwe bouwstenen blijken te bestaan dan men aanvankelijk dacht. In deze fase is de hoge-energiefysica nu beland. Eerst waren er drie soorten quarks: op, neer en vreemd. In de laatste jaren zijn daar tover, top en onder, aan toegevoegd.”  R. stelt dan de vraag of quarks weer deelbaar zijn, en die deeltjes ook weer enz. enz…oneindig deelbaar? geeft dan als voorbeeld een steen. Die gaan we splitsen, als deeltjes oneindig deelbaar zijn bestaat er volgens deze gedachte geen vorm maar velden. Opmerkelijk is dat Einstein iets dergelijks dacht. We weten echter dat die velden op bepaalde punten deeltjes kunnen voortbrengen.

Bovenstaande is noch ’n argument voor of tegen ’n oneindig aantal deeltjes, noch voor of tegen steeds kleinere deeltjes. Wij kunnen een steen niet ’n oneindig maal splitsen, dat zegt echter nog niets over het al dan niet bestaan van steeds kleinere deeltjes, we zullen dan moeten aanvaarden dat ze wellicht potentieel aanwezig zijn, maar kunnen niet bewijzen dat ze feitelijk bestaan. Dat geldt overigens ook al voor quarks de energie is daarvoor ook niet toereikend. Ook kunnen we niet eens oneindig splitsen, want hoe kleiner het te splitsen deeltje, des te groter is de benodigde energie, die loopt ook tot oneindig. In principe zou het mogelijk zijn dat er oneindig veel kleinere en kleinere  deeltjes bestaan (al voorkomt de constante van Planck dat), dan zou dat lijken op de reële getallenlijn, waar tussen nul en een oneindig veel breuken geplaatst kunnen worden. Deze hele manier van denken lijkt verdacht veel op de eerste vraagstelling: ‘zijn er oneindigheden denkbaar in de denkwereld’. Fysisch hoeft ze geen praktische betekenis te hebben, niet alles wat we bedenken moet per definitie bestaan. Soms wordt er beweerd: ‘alleen vorm, geen inhoud’, een merkwaardig standpunt. Als je eigenschappen van de wereld verklaart in termen van de meetkunde, dan is die meetkunde de vorm, de wereld, de inhoud. Ook over wat velden precies zijn is het laatste woord nog niet gesproken  De hele vraagstelling of materie oneindig deelbaar is wellicht reeds lang achterhaald, niettemin is het nuttig ze consequent door te redeneren vanwege de duidelijkheid  en wat nog belangrijker is een beter begrip van de verhouding eindig – oneindig te verkrijgen.

Rucker heeft het nog over een oneindig aantal posities dat een elektron zou kunnen innemen. De quantummechanica zou dat niet verhinderen, in principe, want oneindige precisie is onmogelijk. Dus concludeert Rucker: ‘er is toch nog een feitelijke oneindigheid in de wereld’ Als U zich echter herinnert dat ruimtetijd zélf gequantificeerd kan zijn en elektronen (deeltjes) uitingen zijn van die gequantificeerde ruimtetijd, dan is het logisch dat er een grens moet zitten aan de positie van elektronen. Dat wil zeggen dat elektronen als configuratie uit een bepaalde hoeveelheid gecomprimeerde ruimtetijdquanta moeten bestaan, ze nooit een nauwkeuriger positie kunnen innemen dan de ruimtetijd waaruit ze bestaan. Overigens is zo’n positie naar onze maatstaven al behoorlijk nauwkeurig, door de maatvoering die met de Planckmaten samenhangt, waardoor misschien het misleidende idee is ontstaan dat men deeltjes als puntdeeltjes kan beschouwen. Als we bovendien een stap verder gaan, een die algemeen noodzakelijk geacht wordt, namelijk quantum–zwaartekracht en dan in samenhang met ruimtetijd die gequantificeerd is, dan zouden die posities van een elektron in een orbitaalruimte wel eens meer bepaald kunnen zijn dan men denkt. Als ruimtetijd en zwaartekracht een hecht samenwerkingsverband vormen en energieniveaus niet willekeurig, maar afhankelijk van bepaalde ruimtetijd configuraties zijn en we begrijpen dat die configuraties eindige entiteiten zijn die afgeleid zijn van oneindigheid, dan is de vraag of materie oneindig deelbaar is al beantwoord, dat is ze dus niet! Dat wil echter niet zeggen dat we van de oneindigheden af zijn.

Van ‘oneindigheden’ zijn we niet zomaar af, al zouden we het willen.

We zitten dan nog wel met de opvatting dat hoe dichter we het Planckniveau naderen alles onzekerder wordt (ruimtetijd als een bobbelig schuim, en dat soort beelden) Rucker zegt hierover: “Wat komt erna of wat komt er voor in de plaats? Het Apeiron volgens Aristoteles, het oneindige is een tekortkoming, niet een volmaaktheid maar het ontbreken van een grens” Het kon ook volkomen ordeloos betekenen, of niet te definiëren, niet eindig te bepalen of zelfs oneindig ingewikkeld. Dat alles komt merkwaardig modern over en afhankelijk van welke betekenis je kiest van toepassing op de quantummechanica of juist niet. Te denken valt hier bijvoorbeeld aan de afkeer van oneindigheden in quantumproblemen. Eigenlijk zit in de constante van Planck al opgesloten dat er geen oneindig aantal posities door het elektron ingenomen kunnen worden. Denk maar eens aan de energieniveaus die daar afhankelijk van zijn. Ieder niveau is op te vatten als een positie (punt) en aangezien dat in ‘treedjes’ gaat en nooit in halve, een ‘trap’ dus en niet onder te verdelen in oneindig kleine ‘treedjes’. Niettemin is het doorredeneren erover toch belangrijk, want ondanks alles meent men toch dat het idee van steeds ‘kleinere’ deeltjes logisch voortvloeit uit de quantumtheorie. G. ’t Hooft zegt hierover: “De kleurkrachten hielden de quarks zo mooi bij elkaar in het proton en het pion. Misschien bestaat er een versie van een nieuwe kleurtheorie op duizendmaal kleinere schaal, die bouwstenen bij elkaar houdt in wat we nu nog de elementaire deeltjes noemen.”    Dit doet denken aan de zogenaamde ‘darks’ van Rucker waaruit quarks zouden kunnen bestaan. ’t Hooft schenkt hier nogal wat aandacht aan. Het probleem is echter en dat erkent hij ook, dat geen enkel experiment ook maar heeft aangetoond dat er hele families van dergelijke kleine deeltjes bestaan. Dat zou natuurlijk een ‘schaalprobleem’ kunnen zijn, dat wil zeggen ze zijn er wel, maar op zo’n kleine schaal dat we ze niet kunnen waarnemen. Rucker verwijst naar Hume: ‘Zet een inktstip op papier, kijk naar die stip, en loop zo ver terug dat u de stip niet meer kunt  zien; het is duidelijk dat het beeld of de indruk  vlak voor het verdween volmaakt ondeelbaar was.’ Zo’n stip zou de Plancklengte kunnen zijn. Met dat verschil echter dat hier ons ‘waarnemingsvermogen’ eindigt. Het kan dus een schaalprobleem zijn, maar het kan ook een grens zijn. Een grens aan het ‘eindige’, daar voorbij wordt alles oneindig. Ons ‘waarnemingsvermogen’ eindigt natuurlijk al bij veel grotere maten dan de Plancklengte, toch lijkt er veel voor te zeggen dat, dat de kleinste schaal is.

Vanuit een ‘eindige’ positie, doordenken in de richting van ‘oneindigheden’.

De conclusie lijkt dus te zijn (de eerste vraagstelling gaf dat ook al aan) dat als wij het begrip eindig – oneindig invoeren, het duidelijk is (en de verzamelingenleer ondersteunt het) dat wij vanuit een eindige positie, met ’n kleinste schaal, kunnen doordenken in de richting van oneindigheden. Waarom in de ‘richting van oneindigheden’? Wel, wij tellen, sommen op, denken in reeksen, in afgepaste hoeveelheden of hoe je het ook maar wilt noemen. Dat nu zijn discrete of discontinu technieken. Daar staat continu tegenover, dat wil zeggen vloeiend zonder onderbrekingen, ondeelbaar althans niet op de ons vertrouwde manier van aftellen, meten enz. Voor een goed begrip moeten we de woorden discontinu – continu nader toelichten. Een woordenboek  zegt over discontinu: ‘met onderbrekingen of gapingen’. De quantumtheorie is discontinu, het woord quantum, afgepaste hoeveelheid, zegt het al. Veranderingen in de quantummechanica gebeuren dus stapsgewijs, gerelateerd aan een of meer eenheden h, de constante van Planck. Hetzelfde woordenboek zegt over continu: ‘aangrenzend (met samenhang), doorlopend, voortdurend.’ Er kan gemakkelijk een begripsverwarring ontstaan, omdat de uitdrukkingen continu of continuüm dikwijls gebruikt worden voor systemen of processen, die doorlopen of waarvan de onderdelen aaneensluiten zónder gapingen of onderbrekingen. Dat gaat in wezen toch altijd over continua die in haar delen discontinu zijn, dat wil zeggen dat haar delen onderscheidbaar zijn, je kunt dan ieder deel apart herkennen, ook al sluiten ze aan elkaar aan. Echte continua zijn niet onder te verdelen, doe je het toch dan weet je nooit zeker of de onderverdeling die je maakt de samenstelling van het continuüm weergeeft. De woorden samenstelling, onderverdeling, aaneensluiten, enz. zijn woorden die inherent zijn aan discontinu systemen. Het is dus zeer moeilijk om over echte continua iets te zeggen.

De verzamelingenleer als hulpmiddel, maar met beperkingen.

Verscheidene malen verwees ik naar de verzamelingenleer als hulpmiddel om oneindigheden beter te leren begrijpen. Daar moet ik deze kanttekening bij plaatsen, alhoewel ze een interessante kijk op het denken over oneindigheden weergeeft, lijkt het erop dat ze uiteindelijk ‘niet meer’ zal kunnen betekenen dan ons denken, zoals ik het noem, in de ‘richting van oneindigheden’ te sturen. Uit het boek van Rucker blijkt duidelijk dat het denken over échte oneindigheden zeer summier zal zijn. Dat lijkt weinig hoopgevend, maar het zal al een grote winst blijken te zijn als we het eindige (het heelal en wijzelf) kunnen plaatsen in verhouding tot het oneindige. Ja als we kunnen laten zien dat het ‘eindige’ niet eens kan bestaan zonder het ‘oneindige’.

Een eerste aanzet met behulp van de verzamelingenleer kan ons op weg helpen. Een belangrijk onopgelost probleem is de continuümhypothese, ze komt eigenlijk voort uit de reële getallenlijn. De verzameling daarvan zou groter zijn dan die van de natuurlijke getallen, dat is niet moeilijk in te zien tussen twee natuurlijke getallen past geen ander, zeg maar tussen drie en vier past geen ander natuurlijk getal. Elk getal dat er tussen past is een ander soort getal. Terwijl er bij de reële getallenlijn steeds weer nieuwe reële getallen tussen geplaatst kunnen worden, tussen bijvoorbeeld 0,5 en 0,6 kun je vele andere plaatsen, bijvoorbeeld 0,51; 0,52 enz. maar ook 0,511 en 0,512 enz. dat gaat door tot oneindig. Je zou dus denken dat zo’n verzameling genoeg getallen bevat om ieder punt in het continuüm te benoemen, merkwaardig genoeg is dat nooit bewezen. Wel dat zo’n continuüm tenminste zoveel punten bevat als er reële getallen zijn, of ze echter meer punten bevat is niet bewezen. Op zich hoeft dat ons niet te verontrusten, het is heel goed mogelijk dat verzamelingen als de reële getallenlijn slechts idealisaties zijn van het echte continuüm.

Het is eigenlijk al een oud probleem, net zo oud als de controverse potentieel/feitelijk oneindig. Zeno de Griek worstelde er al mee, denk maar aan de paradoxen van Zeno, zoals die van Achilles en de schildpad, en die van de pijl die eigenlijk niet kan bewegen. In deze tijd dus de Continuümhypothese als ook het eerder genoemde Omega, het absoluut oneindige. Wat ze vooral duidelijk maken is dat er een verschil is tussen wat wij als oneindig ervaren en wat we noemen échte oneindigheden. De verzamelingenleer gaat daar wel op in, dat komt naar voren in het hanteren van bepaalde begrippen als aftelbaar, overaftelbaar, niet aftelbaar en ordinaal- en kardinaalgetallen. Met dit soort begrippen probeert men grip op het onderwerp te krijgen. Ook spreekt men wel over oneindigheden die groter zouden zijn dan andere oneindigheden, op het eerste gezicht lijkt het allemaal wat mysterieus, maar in feite zijn het niet meer dan pogingen om enig inzicht in oneindigheden te krijgen. Het merkwaardige is nu dat in fysica het begrip oneindig met argwaan bekeken wordt, erger nog ontkend. Het boek van Rucker geeft veel uiteenlopende, zelfs controversiële opvattingen weer en daarom is het goed om sommige ervan eens te belichten. Het gaat er mij vooral om die punten te belichten, die duidelijkheid in fysische zaken kunnen brengen. Deze controversiële opvattingen lopen uiteen van het erkennen van oneindigheden tot het geheel ontkennen ervan, met allerlei gematigde standpunten er tussen in.

De paradox van Zeno, ofwel bestaat de ruimte nu uit punten of is ze continu?

De paradox van Zeno gaat over een bewegende pijl, die door de ruimte beweegt. We kunnen vragen, en waarschijnlijk deed Zeno dat ook, bestaat de ruimte uit punten of is ze vloeiend continu? Zeno dacht als de ruimte uit punten bestaat dan beweegt de pijl van punt tot punt, dan hebbben we een probleem. Tussen punten is er altijd meer ruimte, of is er tussen de punten niets? Is de ruimte ondeelbaar dan kun je tussen de punten alsmaar nieuwe punten plaatsen. Al bewegende moet de pijl telkens van (nieuw)punt naar (nieuw)punt bewegen en komt nooit vooruit. De mogelijkheid om alsmaar nieuwe punten te kunnen plaatsen impliceert dat er steeds kleine stukjes continuruimte over blijven. Dat gaat eindeloos door tot infinitesimale afmetingen.

In feite toont deze hele kwestie alleen maar de worsteling van Zeno (en vele anderen) om te begrijpen of de ruimte nu uit punten bestaat of dat ze absoluut continu is. En met die infinitesimalen kom je er toch ook niet, want deze kun je weer onderverdelen in punten. Het is trouwens een tweeslachtig voorstel, want dan zou de ruimte uit punten bestaan en tussen die punten hele kleine continue stukjes ruimte die dan de werkelijke ruimte zouden vertegenwoordigen, omdat daar de pijl in beweegt. Want daar komen we natuurlijk niet onderuit: ‘een afgeschoten pijl beweegt’ dat is toch ieders ervaring? Zelfs als de ruimte discontinu is, dan nog kom je er niet met punten, punten hebben nu eenmaal geen afmeting en als we zeggen, ja maar we nemen ze heel klein, dan voer je een afmeting in en dan zijn het geen punten. Wat een continue lijn of ruimte betreft hebben punten ook niet zoveel voordeel. Voorafgaand aan zijn bespreking over Zeno maakt Rucker de volgende opmerking: “Ik wil de lezer erop attent maken dat er nog een ander soort absolute bestaat: Absolute Continuïteit. Volmaakt continue ruimte. De eerste gedachte bij een Absoluut continue lijn is dat een dergelijke lijn niet gezien kan worden als een verzameling punten.” Ook anderen laten zien dat het punten idee problemen oplevert, in feite verzeil je in paradoxen. Een definitie van een paradox was: ‘een logische redenering die op schijnbaar juiste vooronderstellingen gebaseerd is’. Rucker gaat er verder op door en haalt Gödel aan: “Gödel maakt een onderscheid tussen de verzamelingtheoretische analyse en het idee van de continue lijn uit de intuïtie: ‘Volgens dit intuïtieve begrip hebben we, als we alle punten opsommen, nog steeds niet de lijn; de punten vormen veeleer een soort verhoging op de lijn.’” Eenvoudig gezegd: je kunt tussen twee willekeurige punten, alsmaar meer punten plaatsen. C.S. Peirce gaat hierin mee: “Volgens hem is een werkelijke continue lijn zo volgepakt met punten  dat er geen verzameling, hoe groot ook, te bedenken is die de lijn vol maakt. Tussen de getallen ½,⅔,¾,4/5,5/6 ,…en 1 kan niet slechts één punt zijn, maar er moeten ω punten, א1 punten, zijn, Absoluut oneindig veel.” Dat gaat eigenlijk over een limiet tussen de reeks en 1, in principe is die onoverbrugbaar, tenzij je een limiet als infintesimaal beziet, ontzettend klein, en dus maar wegstreept. Dat wordt aanvaard om niet in eindeloze berekeningen te geraken, maar maak niet de fout dat het de oplossing is.

Het ‘denken over continua’ levert haast als vanzelfsprekend ‘oneindigheden’ op.

Dit voorbeeld (uit te breiden met vele andere) laat zien, dat op zijn minst in het denken de mogelijkheid bestaat om over oneindigheden na te denken, ja eigenlijk stuiten we er onverbiddelijk op. Behalve dat gaat ons denken ook in de richting van continua, omdat uit veel blijkt dat als we ons bezig houden met discontinue toestanden, we dan  als een logisch gevolg bij continua uitkomen, ja zelfs bij absolute continua. R. haalt hierover Felix Hausdorff aan: ‘Hij toonde aan dat een Absoluut continue ordening logisch mogelijk is.’  En dat is niet alleen logisch mogelijk, maar logisch noodzakelijk, als we alles op een rij zetten. Als we op dingen stuiten die nieuw, vreemd of onbegrijpelijk zijn (of lijken), dan willen we daar graag meer over weten. Dus mensen als J.H. Conway zoeken een oplossing. Hij ontwierp een klasse van nieuwe getallen, de zogenaamde surreële getallen, of simpelweg No. Zijn systeem grijpt aan op het bovengenoemde probleem van punten in de ruimte. Conway hierover: “Er worden steeds nieuwe getallen geplaatst in de ruimten tussen de opeenvolgende verzamelingen van surreële getallen.” Volgens R. kun je met Conway’s systeem praktisch ieder getal opschrijven en bewerken. Zou dat betekenen dat je continuïteiten toch kunt beschrijven, benoemen of bewerken? Dat lijkt teveel gevraagd, want alhoewel het over steeds ‘hogere oneindigheden’ van punten gaat, blijft er altijd een resterende ruimte over, bestaande uit continue kleine stukjes. Maar misschien dat we op deze manier toch enig idee krijgen van eindig–oneindig, als we eindig opvatten als ‘ieder getal’. Of wat nog mooier zou zijn als dergelijke getallen tussen eindig en oneindig zouden staan, als het ware als een intermediair optreden. De meer ‘gewone getallen’ kunnen immers met Conway’s systeem beschreven worden. Surreëel moet dan niet worden opgevat worden als onwerkelijk, als fictie of iets dergelijks, maar als een achterliggende ‘werkelijkheid’ van onze werkelijkheid.

Er is een overeenkomst tussen Conway’s getallen en de Mandelbrotverzameling.

Misschien dat dan het zogenaamde witte gebied van de Mandelbrot-verzameling  niet alleen recursief opsombaar is, maar werkelijk recursief met het zwarte gebied. Denk dan aan de steeds kleinere torretjes, maar niet te vergeten de ‘sprieten’ die ook eindeloos herhaalbaar voorkomen. Zit hier ook niet een duidelijke verwantschap in van eindig en oneindig? De sprieten aan de torretjes, hoe klein ook, kun je dan vergelijken met ‘de plaatsing’ van steeds nieuwe getallen in de ruimten tússen de verzamelingen van surreële getallen. De torretjes zijn dan vergelijkbaar met de verzamelingen van surreële getallen. Deze sprieten kun je dan bezien als de overgang van de eindige ruimte, nog steeds de torretjes, naar de oneindige ‘ruimte’. Ogenschijnlijk stel ik hier een discontinue beschrijving voor van een continu geheel, een echt continuüm. Reëel of surreëel, imaginair of virtueel, het zou allemaal wel eens met hetzelfde te maken kunnen hebben. Maar het lijkt op de beschrijving van de golffunctie van Schrödinger, waar het invoeren van complexe getallen nodig is, met een reëel en ’n imaginair deel, om tot eindige resultaten te komen. In plaats van imaginair zou je ook surreëel kunnen zeggen. In de beschrijving van een elektron zitten ook dergelijke ‘surreële’ elementen, alleen noemt men ze virtueel. De ‘padintegraal’ en de ‘storingstermen’ methode bij het beschrijven van een elektron geven eigenlijk ook een oneindige achtergrond aan. De oneindigheden waarmee men te kampen heeft lijken op Conway: ‘Er kunnen steeds nieuwe getallen worden geplaatst tussen de opeenvolgende verzamelingen van surreële getallen.’ Analoog hieraan: Er kunnen nog steeds nieuwe paden (Feynmam) bekeken worden bij de beweging van een elektron, eigenlijk ruimtes, of liever ruimtetijd beschrijvingen die tot oneindig lopen. Terwijl de waarden van het elektron door een storingsreeks steeds nauwkeuriger worden, raken deze ‘paden’ nooit geheel tot oneindig, omdat we natuurlijk te maken hebben met een discontinue berekening. Dat is niet onlogisch, want we hebben met quantificatie te maken, maar om tot die ‘werkelijkheid’ te geraken hebben we dergelijke berekeningen nodig. Voor een nauwkeurig resultaat. Willen de keerzijde van de medaille te weten komen, dan zouden we die ‘padenberekening’ moeten omdraaien, dat betekent dat we moeten nagaan waar we terecht komen als we bij die ‘padenberekening’ steeds meer paden betrekken. Paden die niét bijdragen, of steeds minder, aan de totale krachtwerking van een elektron, maar wel steeds ingewikkelder worden.

Geeft een ‘nauwkeurig resultaat’ de hele werkelijkheid weer?

Het ‘nauwkeurige resultaat’ is datgene wat we wensen, en doorgaans als ‘de werkelijkheid’ beschouwd wordt. Die ‘werkelijkheid verkrijgen we echter alleen maar met oneindigheids berekeningen, die we noodzakelijk op een limietachtige wijze moeten afbreken. Hoewel er verschil van opvattingen bestaan  over het toepassen van limieten en degenen die vinden dat er steeds kleinere ‘infinitesimalen’ bestaan (d.w.z. steeds kleinere eenheden) is er in wezen geen verschil tussen beide, alleen dan dat een limiet, wil hij goed bruikbaar zijn, een zo klein mogelijk gekozen infinitesimaal is. Daardoor besluit men dat zo’n klein mogelijk gekozen infinitesimaal als limiet kan dienen. Een limiet is eigenlijk een door ons gekozen grenswaarde, die door de onderdelen van een berekening willekeurig dicht genaderd kan worden. Dat komt er op neer dat men ‘om de hete brei heen draait’, want als we een limiet ‘willekeurig’ dicht kan naderen, dan werken we eigenlijk net zo goed met infinitesimalen. Er zijn dan eigenlijk steeds kleinere stukjes te bedenken, die de limiet dichter naderen dan eerdere door ons bedachte kleine stukjes. R.  zegt hierover naar aanleiding van Weierstrass methode om tot een limiet proces te komen, het volgende: ‘‘C (∞, dx, a) = b’ te vervangen door: ‘stel dat I is een reëel getal dat groot genoeg is en i een reëel getal dat klein genoeg is, dan zal de waarde van C (I, i, a) zeer dicht bij b liggen. Door I te laten toenemen en i te laten afnemen zou men in staat moeten zijn b met C (I, i, a) willekeurig dicht te benaderen. Dit heet het limiet proces.” De symbolen ∞, voor oneindigheid en dx voor een infinitesimaalgetal komen van Leibniz en Newton. Het is duidelijk dat Weierstrass gewoon een slimme methode vond waardoor we geacht worden niet meer aan infinitesimalen te denken, maar ‘voorgoed’ met limieten te werken. Waardoor soms wel wordt gesteld dat het werken met infinitesimalen een ouderwetse methode is die geen waarde meer heeft. We zagen echter al dat limieten gewoon verkapte infinitesimalen zijn. Rucker maakte hierover de volgende opmerking: “Als je in oneindig grote getallen en oneindig kleine getallen gelooft, is het natuurlijk veel eenvoudiger alleen te vragen of C (∞, dx, a) gelijk is aan b. Maar de meeste mensen hebben zo’n angst voor oneindigheid dat men tot nu toe over de gehele wereld de analyse beschouwt als een onderzoek van limietprocessen in plaats van wat het werkelijk is: infinitesimale analyse.”

Is het angst voor het oneindige of alleen maar filosofische vooringenomenheid?

Dat is de kern van de zaak, waar het om draait! Als we eindige processen onderzoeken, of dat nu in de wiskunde of in de fysica is, komen we op oneindigheden uit. Ja zoals eerder belicht, de eindige resultaten kunnen niet eens bereikt worden zonder de oneindige. Of het alleen maar angst is voor het oneindige zoals Rucker stelt, lijkt mij niet. Het komt eerder voort uit sterke filosofische en/of ideologische invloeden, waardoor men alleen maar volkomen ‘materialistische’ verklaringen kán, of wil, accepteren. In de praktijk komt het erop neer dat men alleen maar finitistische berekeningen wenst te aanvaarden, dat wil zeggen berekeningen die tot een definitief einde leiden, duidelijk afgebakende uitkomsten opleverend. Het tegenstrijdige is nu dat zelfs quantumfysici dat willen, hoewel ze zelf voorstander zijn van het zogenaamde ‘onzekerheidsbeginsel’, dat voor veel toestanden slechts een zekere vaagheid oplevert. Men zegt dan, als we op oneindigheden stuiten is dat een teken  dat er met de theorie iets goed fout is. Men bedoelt daarmee, we moeten eigenlijk alleen maar theorieën bedenken waar geen oneindigheden in voorkomen en mochten ze er wel in voorkomen dan moeten we iets verzinnen om ze onschadelijk te maken. Zou de vaagheid van het ‘onzekerheidsbeginsel’ niet voortkomen uit de ontkenning van oneindigheden?

Wat Conway betreft, voorlopig is men niet met hem in zee gegaan, (althans volgens Rucker), Dat is jammer want Conway bedacht zelfs een definitie waarin ‘potentiële oneindigheid’, voorgesteld door: ∞, de ruimte tussen de eindig grote en de oneindig grote surreële getallen vertegenwoordigt. In zijn formule ∞ = Ω √ ω , die een verband legt tussen ∞: potentiële oneindigheid, ω: de eenvoudigste feitelijke oneindigheid en Ω: absolute oneindigheid, komt de noodzaak naar voren om een verband tussen eindig en oneindig op zijn minst aan te duiden. Dat vergt enige toelichting, ∞: potentiële oneindigheid geeft ons vermogen weer om over oneindigheden na te denken zonder tot een definitieve benoeming te kunnen komen. Ω: (omega, hoofdletter) is het Absolute oneindige, het enige echte oneindige dat zijn weerspiegeling vindt in continua en continuïteitsprincipes enz.

Wat aanvaarden we precies als we ‘feitelijke oneindigheden’ aanvaarden?

Dan blijft nog het feitelijke oneindige over, ω (omega, kleine letter). Een buitengewoon intrigerend onderwerp waarover het laatste woord nog niet gezegd is. Voorlopig lijkt het erop dat we met feitelijke oneindigheden kunnen rekenen, maar dat zegt nog niets over het werkelijke bestaan ervan. Een onopgelost probleem is nog steeds het aftelbaar zijn of niet van verzamelingen. Feitelijk wijst naar, het is een feit, maar is het dan ook aftelbaar? Als het aftelbaar, is het dan wel oneindig? Ik weet natuurlijk wel dat men denkt dat aftelbaar én oneindig samen gaan. We hoeven hier alleen maar te denken aan de verzameling van de natuurlijke getallen, 1,2,3,4,…, te denken. We kunnen doortellen, aftelbaar dus, maar we kunnen dat ook oneindig (in theorie), dus aftelbaar en oneindig lijken samen te gaan! Maar is dat wel zo? Als we het begrip aftelbaar letterlijk nemen, dan komt er een eind aan ons ‘aftellen’, dat wil zeggen op een bepaald moment zijn we klaar. Vroeg of laat dat doet er niet toe, het gaat om het principe. Maar als we waar dan ook in de rij van de natuurlijke getallen klaar zijn, dan is die rij niet oneindig. Ja, natuurlijk zal iedereen zeggen, je komt niet klaar, want je kunt oneindig door tellen, dus toch oneindig! Of niet? Ja dat wel, maar niet áftelbaar zodanig dat je van een afgeronde verzameling kunt spreken. Dit lijkt misschien op muggenzifterij, maar het gaat er mij alleen maar om, om begrippen helder te krijgen. Misschien zal men ook zeggen dat ik mijn eigen aanbevelingen, om met Cantors verzamelingen meer helderheid te krijgen in de verhouding eindig–oneindig, ondergraaf. Dat zou kunnen, misschien blijken deze verzamelingen aan het einde van deze zoektocht niet toereikend te zijn. Voorlopig denk ik echter dat we er wel wat aan hebben. Het zou kunnen zijn dat we het volgende dienen te overwegen: “Is het niet veeleer zo dat verzamelingen die men als ‘feitelijk oneindig’ opvat, en waarmee allerlei wiskundige handelingen verricht, gezien moeten worden als abstracties van onszelf om greep op het potentiële oneindige te verkrijgen”? En wellicht nog veel meer als pogingen om grip te krijgen op dat wat voor ons onbereikbaar is:  het Absoluut Oneindige?

Ook benaderingen kunnen winst opleveren.

Ze, deze handelingen, kunnen dus gezien worden als wegen die de verhouding van het eindige tot het oneindige verduidelijken. Dat wil niet zeggen dat deze wegen geheel en al bij Ω het ‘Absolute oneindige’ zullen uitkomen. Ja misschien zullen het uiteindelijk ‘slechts benaderingen’ blijken te zijn. Toch zal dat winst opleveren, omdat van allerlei vragen die nu onoplosbaar lijken te zijn, of waarmee men vruchteloos worstelt in de hoop ze te kunnen oplossen, dan duidelijker zal zijn waarom we ze niet kunnen oplossen. Dat lijkt niet veel, maar het  begrip van waarover die vragen gaan zal zeker toenemen. Controverses als die tussen potentieel en feitelijk oneindig, die eeuwenoud zijn en nog steeds voortduren, behoeven een oplossing. Dit ondanks de opvatting als die van Brouwer en de intuïtionisten: ‘alle verzamelingen zijn aftelbaar’ en de ontkenning van finitisten: ‘er bestaan geen oneindigheden noch in de hemel noch op de aarde’ Het is vrij snel duidelijk dat beide opvattingen, zeker wiskundig, te kort schieten. Helaas gedragen nogal wat fysici zich als finitisten. Daarnaast moeten we de begrippen ‘potentieel’ en ‘feitelijk’ oneindig nog eens goed onder de loep nemen. Over ‘potentieel’ zegt een woordenboek : ‘In aanleg aanwezig, nog niet in werking, maar verwerkelijkt kunnende worden’. Dat geeft een enigszins cryptische sfeer, want dat zou betekenen dat potentieel oneindig er wel kan zijn maar het niet duidelijk of het ooit tot werkelijkheid zal worden. Als we denken aan de formulering van het verwante woord  potentiaal: ‘Arbeid nodig om eenheid van elektrische lading vanuit het oneindige naar een punt in elektrisch of magnetisch veld te brengen’. In een exactere beschrijving gaat het om elektrostatische velden, maar het gaat mij hier om het begrip potentieel oneindig. Als het nu mogelijk is om een eenheidslading vanuit het oneindige naar een punt in een elektrisch of magnetisch veld over te brengen, dan kun je natuurlijk wel zeggen, zoals de definitie luidt: ‘in aanleg aanwezig, nog niet in werking, maar verwerkelijkt kunnende worden’, zodat je strikt genomen gelijk hebt. Echter als die eenheidslading potentieel mogelijk overgebracht kan worden naar zo’n punt, dan moet die eenheidslading ‘feitelijk’ aanwezig zijn óp dat punt in het oneindige, anders valt er niets over te brengen.

Potentieel en feitelijk oneindig zijn nauw verwant.

Het komt er dus op neer dat ‘potentieel’ én ‘feitelijk’ oneindig eigenlijk hetzelfde zijn. Hooguit kun je zeggen dat ‘feitelijk oneindig’ wat beter gedefinieerd zal zijn dan ‘potentieel oneindig’, dat nogal eens de vaagheid in zich heeft van: ‘het zou kunnen bestaan maar zeker weten doe je het niet’. En dit laatste is eigenlijk de oorzaak van de controverses die zich voordoen. Het zal dus zaak zijn om die onderwerpen die men maar al te gemakkelijk afdoet met potentieel oneindig, maar waar men eigenlijk bedoelt te zeggen: ‘ik geloof er niets van dat de desbetreffende oneindigheid bestaat’, te onderzoeken of deze oneindigheden als ‘feitelijk’ gezien kunnen worden. Daar komt nog bij kijken dat evengoed het begrip ‘feitelijk’ verwarring kan opleveren omdat, zoals we al zagen, de meeste mensen graag sluitende antwoorden willen. Dat zal niet mogelijk zijn, ook al zal ‘iets’ uit afgeleide redeneringen als ‘feitelijk oneindig’ te voorschijn komen, dan wil dat nog niet zeggen dat we dat altijd kunnen berekenen. Wat we dus zullen doen en ook noodzakelijk is, het begrip feitelijk iets meer toepassen op potentieel, en omgekeerd, het begrip potentieel iets meer toepassen op feitelijk. Dat laatste zou dan kunnen betekenen dat wat potentieel oneindig is, duidt op mogelijkheden binnen oneindigheid die feitelijk aanwezig zijn maar niet (nog niet!) benut zijn. Opgevat als een reservoir van mogelijkheden, die op het moment van gebruik feitelijk worden.

Deze hele kwestie lijkt op Gödel’s onvolledigheids theorema en op Turing’s stopprobleem. Er zijn echter vele kanten aan de zaak, zoals bijvoorbeeld de ‘continuümhypothese’ en allerlei begrippen uit de verzamelingenleer zoals de transfiniete getallen, de kardinaalgetallen en de begrippen aftelbaar of niet, overaftelbaar en andere ideeën en begrippen. Zijdelings zijn deze al ter sprake gekomen, maar in een volgend deel gaan we daar wat uitputtender op in om te zien of dat alles bruikbaar is om tot een beter inzicht te komen in de verhouding ‘eindig – oneindig.