6.2 Voorbeelden die naar oneindigheden verwijzen. Is Pi fantasie?
‘Is Pi fantasie?’ geeft een aardig thema weer , want waar gaat het om? Er zijn twee uitgangspunten n.l. vinden we wiskunde uit? of ontdekken we haar? Het eerste is wat men noemt ‘het uitvindersprincipe’ ofwel het ‘inventionisme’. Wiskunde is een uitvinding, slechts een constructie van de menselijke geest. En problemen als het ‘onvolledigheidstheorema’ van Gödel hebben geen realiteitswaarde, ze zijn slechts uitingen van onze gebrekkige methoden om de werkelijkheid te beschrijven. Daarnaast: wiskundige begrippen, ‘gereedschappen’, denken wij uit, maar als we de werkelijkheid ermee beschrijven hebben ze geen werkelijke waarde. Het is slechts een kwestie van tijd, zo meent men dat een volledige theorie mogelijk is, een TVA ofwel een Theorie Van Alles. Het tweede: wiskundige waarheden bestaan onafhankelijk van wiskundigen. Wiskundigen vinden niet uit, maar ontdekken. ‘Pi is geen fantasie’, maar ontdekt. In werkelijkheid liggen er aan de wereld (universum) wiskundige waarheden ten grondslag. Binnen deze opvatting staat Gödel, wiskundige volledigheid is weliswaar onbereikbaar, maar het is geen gebrekkige denktrant om begrippen te definiëren. Neen ze geven een inherente onberekenbaarheid aan van de werkelijkheid, niet in de zin van grilligheid, maar letterlijk niet te berekenen. Dat wil niet zeggen geheel begrijpelijk, maar ontstaan door de verhouding ‘oneindig-eindig’.
Aan onberekenbaarheid zit echter al een langere geschiedenis vast dan die van Gödel. Een eenvoudig voorbeeld hiervan is Pi. Ofwel 3,14…. met oneindig veel decimalen. 3,14 of Pi wijst rechtstreeks naar oneindigheid. Bij Gotlob Frege komt men verschillende opvattingen tegen over wat fundamenteel is. O.a. Leibniz, Kant, Mill en Frege zelf verschillen hierover sterk van mening. Verschillen in het definiëren van begrippen komen veelal voort uit wat voor filosofische uitgangspunten men huldigt. Een korte zoektocht toont al snel aan dat verschillende filosofen soms tot totaal andere conclusies komen. Hoewel het boek van Frege over getaltheorie gaat, is het interessant (soms lachwekkend) om deze verschillen te onderzoeken. Ze tonen aan hoeveel moeite het kost om begrippen duidelijk te krijgen. Naar aanleiding van dergelijke verschillen wordt bijvoorbeeld Mill aangehaald, die stelt dat berekeningen (in dit geval 2+1=3) niet berusten op de definitie zelf, dus niet op 2+1=3, maar een op arithmetisch theorema dat in de definitie verondersteld wordt. In feite is het, het voorgaande probleem, uitvinden of ontdekken. Of Kant’s opvatting, a priori, het ontdekken van feitelijke waarheden of a posteriori, door ervaring uitvinden. In voetnoot 48 blz. 82 van Frege’s boek komt de opvatting naar voren dat in de meetkunde niet de definitie van de cirkel fundamenteel is, maar wel de bewering dat er figuren bestaan die aan de definitie beantwoorden. In feite is een cirkel volgens de definitie een idealisatie.
Zijn definities uitgevonden of ontdekt?
Oppervlakkig gezien zou je dus denken dat de definitie van een cirkel is uitgevonden en niet ontdekt. Maar uitgevonden wiskundig gereedschap geeft geen achterliggende werkelijkheid weer en dat is in deze context juist de vraagstelling of dat waar of niet waar is. Een idealisatie verwijst naar een werkelijkheid die niet precies te omschrijven valt. Wat te berekenen valt over een cirkel, is een benadering. En juist in dit probleem van de cirkel zien we dat er eigenlijk geen verschil in uitvinden of ontdekken is. Men vindt de definitie uit, waardoor men ontdekt. Wat ontdekt men? Het eerder genoemde probleem van de indivisibelen, ofwel er is geen kleinste punt. In die zin is de definitie van de cirkel niet fundamenteel. Een cirkel is een vlak, begrensd door een lijn, waarop alle punten even ver van het middelpunt verwijderd zijn. Maar hoe ver verwijderd? Heeft de lijn afmetingen? Hoe breed is de lijn? Hoeveel punten heeft de lijn? Hoe bepalen we de afstand van ieder punt tot het middelpunt? Heeft het middelpunt of ieder punt een afmeting? Zo ja, dan kan het altijd nog kleiner. Dat betekent dat de afstand nog groter wordt! De straal is dus niet definieerbaar, laat staan het getal Pi 3,14…. in feite oneindig. Wat is dan het oppervlak of de omtrek van de cirkel? Pi 3,14… is nog nooit tot de laatste decimaal berekent, dat lijkt haarkloverij, maar is het niet. Want deze cirkel probleemstelling toont aan dat er altijd een middenweg tussen oneindige niet definieerbare afmetingen en getallen, en eindige afmetingen en getallen (idealisaties dus) zal blijven bestaan. Voor het dagelijkse leven is dit compromis ruimschoots voldoende, maar als we (redelijk of niet) alle waargenomen feitelijkheden willen vastleggen in definities zoals het oppervlak van een cirkel 2πr2, dan komen we in moeilijkheden, want wat zijn die feitelijkheden? De cirkel en Pi tonen het al. Oneindigheden of de keuze tussen onbereikbare nauwkeurigheid en het compromis, de benadering. Wat kiezen we? Een berekenbaar dagelijks leven, 2πr2 Als een eindige berekening van een cirkel, en dan zeggen: ‘dat is alles’? Of een erkenning van onberekenbaarheid, maar daardoor wel tot diepere inzichten komen.
Een extreme tegenstelling lost niets op.
Er is echter nog een derde weg en dat is, ik haalde het al aan, een combinatie van uitvinden en ontdekken. Een synthese dus, i.p.v. tegenover elkaar te staan en krampachtig eigen standpunten verdedigend. Dat is hard nodig, want het heelal is net als Pi en de cirkel, oneindigheden zijn niet te vermijden. Dat blijkt ook uit de quantummechanica, de meest bewezen theorie zegt men. In praktische zin is dat wel zo, berekeningen kloppen met de experimenten tot op 9 cijfers achter de komma, dan duikt er pas verschil op. Zodoende geeft men zelf al aan, net als bij de cirkel dat er iets meer aan de hand is. Strikte feitelijkheden ontbreken, het is een benadering. In verband hiermee denken we aan Feynmans ‘padintegralen’ methode. Problemen rond wat een naakt deeltje precies is e.d. Denk ook aan Feynmans uitdrukking: “Niemand begrijpt de quantummechanica”, als dat zo is dan geeft ze niet het volledige beeld weer (niet dat, dat kan), maar laat zien dat we nog steeds moeten ‘ontdekken’ en niet tevreden moeten zijn met ‘uitvinden’. Door nieuwe definities ‘uit te vinden’, ‘ontdekken’ we misschien dat, wat we nog niet begrijpen. Uitvinden helpt dus ontdekken. Definities moeten dus niet eens en voor altijd vastliggen. In Frege’s boek wordt de volgende aanhaling van Leibniz hierover gedaan: “Een volmaakte definitie toont, volgens Leibniz (Fragmente zur Logik, Berlijn 1960, p. 27), a priori de mogelijkheid van het gedefinieerde aan, maar dergelijke definities zijn uiterst moeilijk te geven, zeker in de beginfase van een onderzoek; vandaar dat men ondertussen genoegen moet nemen met nominale definities die het gedefinieerde voorstellen als een samenstelling van gekende componenten; hierbij volstaat het dat de mogelijkheid van die samenstelling, en dus van het gedefinieerde, op grond van ervaring kan worden vastgesteld. Voor Leibniz is ervaring dus een voorlopig hulpmiddel en niet de enige en laatste grond, zoals voor Mill.”
Het genoegen nemen met ‘nominale definities’ gebaseerd op gekende componenten, wil zeggen: dat wat men op een bepaald moment aan ‘feitelijkheden’ ter beschikking heeft. Het is nog niet zo’n slecht wetenschappelijk standpunt. Het getuigt van een zeker realisme, een pragmatisch standpunt: ‘proberen met dat waar wij over beschikken, een zo volledig mogelijk beeld te schetsen, zonder dat beeld dogmatisch als het enige juiste voor te stellen. Het werk uit het verleden van personen als Galilëi, Newton en Einstein, vervolgens dat van de quantumtheoretici illustreert dat. Waarom zouden we dan in deze tijd menen dat we de enig juiste definities vinden, laat staan gevonden hebben. Om nu de oneindigheden in fysica en astronomie beter te begrijpen, is het verstandig eerst ons inzicht in wiskundige ‘oneindigheden’ te vergroten, Dat kan helpen om in te zien dat wiskunde niet louter gereedschap is, maar tot universele kennis kan leiden, tot ontdekkingen dus!
De Mandelbrotverzameling als onderzoeksterrein.
Hiervoor richten we onze aandacht op de ‘Mandelbrotverzameling’ en de vraag of ze recursief is of niet. Daarnaast volgen we een uiteenzetting over de ‘eenheidscirkel’. Dat doen we aan de hand van Roger Penrose , hij zegt: “Er is iets universeels aan deze Mandelbrotverzameling met betrekking tot herhaalde complexe functies.” We zullen zien dat in dit soort wiskundige onderwerpen, een verhouding ‘eindig – oneindig’ optreedt, en dat zal volgens mij de oplossing van vele problemen zijn. Het gaat hier even niet om de, al of niet, realiteit van de Mandelbrotverzameling (of van fractals in het algemeen), maar om te leren denken in ‘eindig-oneindig’ verhoudingen, en daar voorlopige ‘nominale’ definities, om met Leibniz te spreken, uit te peuren. Het gaat Penrose om de vraag is de Mandelbrotverzameling recursief ? Als ze dit niet is, stelt Penrose dan moeten niet recursieve verzamelingen op een fundamentele manier gecompliceerd zijn en bestand tegen systematisering, zeg maar niet benoembaar, niet berekenbaar, je kunt er dus geen algoritme op toepassen. Er bestaat dan geen manier om te bepalen of een element (of een punt) tot de verzameling behoort of niet. Om dit probleem te beschrijven geeft Penrose de werkwijze weer: “Om te beslissen of een punt in het Argandvlak – een complex getal c – tot de Mandelbrotverzameling (zwart) behoort, of tot de complementaire verzameling (wit), begint de computer met 0 en past de functie: z → z2 + c toe met z = 0, verkrijgt daardoor c, past opnieuwe de functie toe met z = c, dan z = c 2 + c, met als uitkomst c 4 + 2c 3 + c 2 + c, enzovoort. Als deze reeks 0, c, c2 + c, c 4 + 2c 3 +c 2 + c, …begrensd blijft, dan wordt het punt dat c voorstelt zwart gemaakt; is de reeks onbegrensd, dan blijf het punt wit.
‘Niet berekenbaar’ wil niet zeggen dat we niet ‘verder’ kunnen.
Om de zwarte punten, zeg maar de realiteit van de Mandelbrotverzameling, vast te stellen, hebben we dus eigenlijk een oneindig aantal termen van de reeks nodig. Dat houdt dus in als we exact het zwarte gebied willen vaststellen, we oneindigheidsberekeningen nodig hebben. Dat betekent dus dat eindige dingen voortvloeien uit oneindige. Dat raakt dus aan het probleem dat we wellicht nooit finitistische (exact bepaalbare beschrijvingen) zullen vinden. Er is echter een uitweg om tot zekere resultaten te komen, dat is het gebruik van complexe getallen, deze bestaan uit een reëel deel en een imaginair deel. Er rest ons dan niets anders dan de erkenning dat we alleen maar reële resultaten (niet geheel benoembaar, maar slechts benaderbaar) kunnen verkrijgen als we imaginaire grootheden invoeren. De eerlijkheid gebied ons dan om die imaginaire grootheden, niet slechts als een wiskundig gereedschap te zien, maar als een ontdekt gebied dat reëler is dan velen zouden wensen. Penrose gaat daarom verder: “Gelukkig zijn er manieren om na een eindig aantal termen te zeggen of de reeks onbegrensd is (om precies te zijn: zodra de cirkel met straal 1 + √2 vanuit de oorsprong wordt bereikt, kun je er zeker van zijn dat de reeks onbegrensd is.)” Dat geeft enige hoop, want hoewel we niet direct die oneindige reeks kunnen nagaan, is de vaststelling dat zo’n reeks onbegrensd is al een stap vooruit, omdat we dan in ieder geval kunnen laten zien dat eindige dingen afhangen van oneindige. Penrose verder: “In zekere zin is dus het complement van de Mandelbrotverzameling (dat wil zeggen het witte gebied) recursief opsombaar. Als het complexe getal c in het witte gebied ligt, dan is er een algoritme om dat feit vast te stellen. En de Mandelbrotverzameling zelf – het zwarte gebied? Is er een algoritme om met zekerheid te zeggen dat een punt waarvan vermoed wordt dat het in het zwarte gebied ligt daar ook inderdaad ligt? Het antwoord op die vraag is voorzover ik weet tot op heden nog niet bekend. .”
Een verzameling en zijn complementaire deel leiden tot oneindigheden.
Hier moeten we twee dingen zien vast te stellen, het ene is, dat het niet geheel duidelijk is of je, zoals ik geneigd ben te doen, het zwarte gebied, dus de Mandelbrotverzameling zelf, mag beschouwen als het deel van een verzameling die in feite veel groter is en ook het complementaire deel omvat (het witte gebied). Als dat mogelijk is en ik zou niet weten waarom niet, dan is het wellicht zo dat het zwarte gebied het reële deel van de (vergrote) verzameling is, die slechts het reële gedeelte van het complexe getal c weergeeft ((en natuurlijk de reële delen van de verder uitgewerkte functie, die begon met z = 0, z = c, enz. (zoals dat werd toegepast door P.)). Het complementaire deel van deze vergrote verzameling (het witte gebied) werd dan als gevolg van een onbegrensde reeks vastgesteld. Het resultaat was dan een (complementaire) verzameling die bestond uit punten in het witte gebied en waarvoor dus een algoritme bestond. Nu moeten we niet denken dat, dat witte gebied precies begrensd zou zijn, want dat is niet zo. We kunnen namelijk eindeloos doorgaan met het toepassen van de functie, zodat er een verzameling ontstaat die, in zekere zin recursief opsombaar is (aldus P.) maar dat gaat dan wel tot in het oneindige door. Dat zou sommigen misschien afschrikken, maar dat is in het geheel niet nodig, want juist deze oneindige verzameling genereert het zwarte gebied, de eigenlijke Mandelbrotverzameling. Het is dan logisch dat er voor het zwarte gebied geen algoritme gevonden wordt, omdat het uitgangspunt het herhaaldelijk toepassen van de functie z was en de hele procedure een imaginaire verzameling genereert, terwijl de eigenlijke Mandelbrotverzameling, het zwarte gebied dus, niet imaginair, maar reëel is. (Indien dat verantwoord is om het zo te bezien, maar er lijken mij geen zwaarwegende redenen te zijn dat, dat niet kan.)
Het tweede punt is, dat P.’s betoog mij niet geheel duidelijk is, dat kan aan mij liggen. In tegenstelling tot het voorgaande geeft P. in een tekening op blz. 119, te kennen dat het niet berekenbaar is of een punt in het witte gebied ligt, terwijl hij in het voorgaande juist stelt dat er geen algoritme bekend is om de punten in het zwarte gebied vast te stellen?
‘Oneindigheden’ komen we in ieder geval tegen in de wiskunde
Zover gekomen kan de conclusie zijn dat er in ieder geval in de wiskunde aanwijzingen zijn, dat eindige dingen, af te meten tastbare dingen, overgaan in niet tastbare oneindigheden. Ook dat complexe getallen een grote rol hierin spelen. Duidelijk is dat complexe getallen uit een reëel deel en een imaginair deel bestaan , en zoals we zagen is het witte gebied van de Mandelbrotverzameling daardoor te bepalen, ook al loopt het door tot oneindig. Belangrijk is dat daardoor de grens met het zwarte gebied bepaald wordt, even simpel gezegd, de werkelijkheid is echter heel wat ingewikkelder. Er is zelfs een ‘grensprobleem’. Om dit probleem te verduidelijken gebruikt Penrose het voorbeeld van de ‘eenheidscirkel’. We laten hem aan het woord: “Ik heb termen als ‘recursief opsombaar’ en ‘recursief ‘ gebruikt voor verzamelingen punten in het Argandvlak, dat wil zeggen voor verzamelingen complexe getallen. Die termen mogen strikt genomen alleen gebruikt worden voor de verzameling natuurlijke getallen of andere aftelbare verzamelingen. We hebben in hfdst. 3 (p.81) gezien dat de reële getallen niet aftelbaar zijn en dus kunnen de complexe getallen ook niet aftelbaar zijn—want de reële getallen kunnen worden beschouwd als een bijzonder soort complexe getallen, namelijk complexe getallen met een imaginair deel dat gelijk is aan nul. Er zijn in feite precies ‘evenveel’ complexe getallen als reële getallen.”
Als de complexe getallen niet aftelbaar zijn, dan hoeft dat niet echt een probleem te zijn, ook al worden ze veelvuldig gebruikt. Ook de Feynman diagrammen lijken niet aftelbaar, omdat je ze tot oneindig kunt gebruiken, (dat, dat niet wordt gedaan doet er niets aan af). Strikt genomen kun je met de ‘natuurlijke’ getallen ook oneindig doorgaan, terwijl ze toch aftelbaar zijn. Het verschil zit echter in de mate van differentiatie. Natuurlijke getallen, zoals 1,2,3,4… zijn precies afgeronde eenheden, waar je binnen dat getalstelsel geen andere grootheden plaatst, terwijl dat bijvoorbeeld met de reële getallen wel kan, zelfs tussen twee ervan kun je eindeloos veel andere plaatsen, dat is natuurlijk de ware betekenis van al of niet aftelbaar zijn. Dit illustreert dat niet alle oneindigheden hetzelfde zijn, de ‘natuurlijke getallen’ zijn dat alleen maar in hun volgorde terwijl de reële getallen dat in hun volgorde zijn, maar bovendien ook nog in hun omvang tussen twee getallen in. Met de ‘echte’ complexe getallen ligt de zaak wat ingewikkelder, het zijn eigenlijk imaginaire getallen, althans ze bestaan uit een reëel en een imaginair deel. Dus vertegenwoordigen ze een overgangsgebied tussen reëel en imaginair, dat kan zoals ik al eerder belichtte van groot belang zijn.
Is het zinvol ‘oneindigheidsgegevens’ toe te passen op fysica.
Als we dit soort gegevens op fysica toepassen dan kan het zijn dat de verschillende getalstelsels in een toenemende mate de universele achtergrond weerspiegelen, of ermee verbonden zijn. De ‘natuurlijke’ getallen behoren dan, om het zo maar eens uit te drukken, tot het alledaagse leven, je kunt er hoeveelheden mee benoemen. De ‘reële’ getallen gaan een stapje verder, ze maken ons er op attent dat de realiteit verbonden is met oneindigheid, maar er is meer je kunt er ook berekeningen mee maken die ingewikkelder zijn dan wat je met de ‘natuurlijke’ getallen kunt bereiken. Misschien dat je met de ‘reële’ getallen ook bepaalde oneindigheids aspecten kunt benoemen, met de ‘complexe’ getallen gaan we echter een heel stuk verder, ze voeren ons naar een terrein dat nog lichtelijk onontgonnen is. Dat is misschien niet zo in wiskundig opzicht hoewel het mij lijkt dat het inzicht daarover zich doorgaans bepaald tot het formeel vaststellen van verworvenheden, en dat daaruit niet de consequenties getrokken worden. De ideeën van Gödel bijvoorbeeld zouden ons kunnen helpen om de rijkwijdte van de ‘complexe’ getallen te toetsen, in die zin dat ze ons duidelijk maken waar de grens ligt van wat wij van oneindigheden kunnen begrijpen.
We gaan verder met Penrose en het probleem van wat ‘recursief opsombaar’ en/of ‘recursief ‘ genoemd kan worden. P. haalde aan: “er zijn in feite precies ‘evenveel’ complexe getallen als reële getallen, namelijk C” . Strikt genomen zouden ze op elkaar aftelbaar moeten zijn, maar er is een probleem. Hoe verwoordt P. dit? : “Om een één- op- één- relatie tot stand te brengen tussen de complexe getallen en de reële getallen zou je ruwweg de decimale ontwikkeling van de reële en imaginaire delen van elk complex getal kunnen nemen en ze in elkaar weven volgens de even en oneven decimalen van het corresponderende reële getal: bijvoorbeeld het complexe getal 3,6781… + i512,975…zou corresponderen met het reële getal 50132,6977851…”.
De praktische waarde van ‘getalstelsels’ proberen te achterhalen.
Zoals in het voorgaande belicht, is het misschien een methode om van ieder getalstelsel te weten te komen wat precies hun plaats is. In het vervolg van P. blijkt echter dat het niet eenvoudig is, en er duiken ogenschijnlijk nieuwe problemen op. Het is echter mogelijk dat ze juist tot een oplossing bijdragen, of in ieder geval de weg wijzen: Penrose denkt eruit te komen door alleen berekenbare complexe gretallen te gebruiken: “In hoofdstuk 3 hebben we immers gezien dat de berekenbare reële getallen – en dus ook de berekenbare complexe getallen – inderdaad aftelbaar zijn. Hierbij stuiten we echter op een ernstige moeilijkheid: er is geen algoritme om te beslissen of twee berekenbare getallen, gegeven in termen van hun respectieve algoritmen, aan elkaar gelijk zijn of niet. (We kunnen algoritmisch hun verschil bepalen, maar we kunnen niet algoritmisch beslissen of dit verschil nul is).” Als het alleen om berekenbare reële en complexe getallen ging, dan zou er misschien iets inzitten om de verhouding tussen beide verzamelingen te onderzoeken, door de tussenliggende verzameling die ontstaat door de verschillen, die wij dus kunnen berekenen. Omdat er niet bepaald kan worden of dat verschil tussen twee respectieve getallen nul is, is het misschien mogelijk om van deze drie verzamelingen een geheel te maken, zodat je dus een doorlopende verzameling krijgt die het hele gebied van de (berekenbare) reële en complexe getallen bestrijkt. De zin hiervan zou zijn dat er een wereld (in dit geval een wiskundige) begrijpbaar wordt die vanuit de ‘realiteit’ doorloopt in de imaginaire (niet minder) realiteit, maar anders. Dat lijkt ‘voer’ voor wiskundigen, maar is het misschien meer? Het kan zijn dat dit de weg niet is maar, dat we de drie verzamelingen apart moeten bekijken en zien hoe ze in verhouding tot elkaar staan. Dat lijkt hetzelfde maar kan een nuance verschil opleveren, omdat je in het eerste geval een groot geheel krijgt, wat aantrekkelijk is. Het tweede geval geeft misschien inzicht in hoe de verschillende gebieden in elkaar zitten. Of dit alles voor wiskundigen interessant is weet ik niet, maar waar het mij omgaat is te onderzoeken of dergelijke wiskundige technieken kunnen bijdragen aan een beter inzicht in de fysische wereld, waarin de oneindigheden niet langer onder de mat geschoven worden. We volgen P. verder in het probleem: “Stel we hebben twee algoritmen die respectievelijk de decimalen 0,99999… en 1,00000… genereren. Dan zullen we nooit weten of die negens en nullen oneindig doorgaan en de twee getallen en de twee getallen gelijk zijn aan elkaar, of dat er uiteindelijk een andere decimaal verschijnt en de getallen verschillend zijn. Dus we kunnen nooit zeker zeggen of die getallen gelijk zijn aan elkaar.” Het is een epistemologisch probleem, want te zeggen dat 0,99999… ooit gelijk aan 1,00000… is hangt voornamelijk af van welke denklijn je volgt. Als beide getallen oneindig doorgaan dan wordt dat door degenen die een uiterste limiet als oplossing zien, als voldoende geacht. Het verschil is zo onmetelijk klein, dat het te ‘verwaarlozen’ is. Met evenveel recht kun je zeggen dat 1.00000…, oneindig veel nullen dus, een benoembaar, of precies afgemeten getal is. Het is eigenlijk een natuurlijk getal en hoort tot een andere getallenverzameling dan 0.99999…, dat een reël getal is, waarvan je niet eens kunt zeggen of het, de dichtst benaderbare limiet is in de reeks van nul tot een. Als je een algoritme vindt waardoor er na een eindig (maar heel veel) aantal negens bijvoorbeeld een vijf opduikt, dan is dat de dichtst benaderbare limiet. Nu gaat het hier nog maar om de berekenbare complexe getallen, wat dan te doen met de niet berekenbare? Misschien dat we daar pas iets mee kunnen als we ons denken op een aanvaardbare manier hebben aangepast aan het omgaan met oneindigheden. Er rest ons niets anders, want ook al heeft Cantor de weg gebaand, het blijkt dat er toch nog heel wat controversies over bestaan. Maar eerst zullen we kijken of Penrose een oplossing biedt.
Soms lijkt het dat er voor ‘eenvoudige’ problemen geen oplossing is.
Het gaat erom of er voor een eenvoudige verzameling als de ‘eenheidsschijf ‘ een oplossing is: “Dit houdt in dat er zelfs voor een zo eenvoudige verzameling als die welke wordt voorgesteld door de eenheidsschijf (de verzameling punten waarvan de afstand tot de oorsprong niet groter is dan 1) in het Argandvlak geen algoritme bestaat om te beslissen of een complex getal binnen die schijf ligt of niet”. Herkent U het probleem, het is het probleem van de cirkel, ofwel ‘Is pi fantasie’, alleen hier wat uitgebreider, omdat de complexe getallen erbij betrokken worden. We komen vervolgens enige interessante vragen tegen: “Stel dat we een algoritme hebben om de reële en imaginaire delen van een complex getal te genereren. Als we vermoeden dat dit complexe getal precies op de eenheidscirkel ligt, kunnen we ons daarvan niet vergewissen. Er is geen algoritme om te beslissen of het berekenbare getal x2 + y2 gelijk is aan 1 of niet, en dat is het criterium om te beslissen of het berekenbare complexe getal x + iy op de eenheidscirkel ligt”. Volgens deze redenatie bestaat er geen algoritme om te bepalen of een complex getal binnen de schijf ligt of niet, de punten binnen of buiten de cirkel vormen geen probleem, maar die precies op de rand liggen wel . We kunnen niet bepalen of een bepaald complex getal precies op de rand, dat wil zeggen op de eenheidscirkel ligt. Er is dus een grensprobleem! Die grens is niet precies vast te stellen, dat schijnt voor wiskundigen een probleem te zijn omdat zij blijkbaar precies willen bewijzen wat erop de grens, hier dus de eenheidscirkel, gebeurt. P. zegt nog dat het voor de fysica wel zijn nut heeft. Bedoelt hij hier dat er in de fysica géén scherp gedefinieerde grens nodig is? Dan zou dat heel reëel zijn, want zoals we reeds benadrukten lijkt alles erop te wijzen dat er in het fysische heelal een verhouding eindig – oneindig bestaat. Het interessante is echter dat we niet hoeven te berusten in een wiskunde die precies wil bewijzen wat er op die grens gebeurt. Daar bedoelen we niet mee dat die grens niet de moeite waard zou zijn, zodat we hem gewoon kunnen negeren, nee, maar dat zo’n grens nooit op een finitistische wijze eens en voor altijd bepaald zou kunnen worden. Zulke grenzen te leren plaatsen in de wiskunde, dat wil zeggen in te zien dat er ook in wiskunde overgangsgebieden zijn tussen eindige benoembare (berekenbare) gegevens en oneindige gegevens, (soms uitlopend in onberekenbare), zou wellicht een sterke bijdrage kunnen leveren in het begrijpen van de fysische wereld. Penrose volgt nog twee andere zienswijzes om te kijken of ze tot een oplossing leiden. De ene gaat er vanuit om helemaal niet met berekenbare complexe getallen te werken, de andere om slechts met deelverzamelingen van de complexe getallen te werken, waarvan berekenbaar valt te beslissen of twee getallen uit die verzameling gelijk zijn of niet. Hoe dan ook er blijven problemen, of de grens wordt genegeerd, of zoals bij de tweede aanpak blijkt ze te beperkt te zijn. Als laatste verwijzen we nog naar een oplossing met algebraïsche getallen, waarover P. zegt dat ze aftelbaar en berekenbaar zijn en dat het ook een berekenbare kwestie is om te beslissen of twee algebraïsche getallen aan elkaar gelijk zijn of niet. Het is hier niet de plaats om aan te geven welke van de methoden tot een beter inzicht kunnen leiden, er zijn misschien heel andere wegen te bewandelen, waar het mij echter omgaat is te laten zien dat er meer is dan een uitgesproken finitistische benadering. Wellicht pakken we het helemaal verkeerd aan, om erachter te komen of we iets aan die grens hebben of niet, gaan we verder met wat interessante punten. In feite zitten we ook met de Mandelbrotverzameling met het ‘grensprobleem’, en er zijn wat onbeantwoorde vragen zijn in verband met de Mandelbrotverzameling In ieder geval is de Mandelbrotverzameling interessant genoeg om daar eens op door te borduren. Ze bestaat dus uit bobbels, sprieten die de grens vertegenwoordigen en daarbuiten een complementaire verzameling. Penrose stelde: ‘Misschien is de Mandelbrotverzameling een voorbeeld van een recursief opsombare verzameling, die niet recursief is’. We hebben echter gezien dat er in het complementaire deel, het witte, gegevens moeten zitten, die bepalend moeten zijn voor het zwarte, want zonder het witte kunnen we het zwarte niet bepalen.
Het begrip ‘recursie’ kan tot verder inzicht leiden.
Douglas R. Hofstadter geeft een begrijpelijke definitie van recursie : “Recursie gaat om hetzelfde maar toch anders. Het berust op het gelijktijdig optreden van ‘hetzelfde’ op een aantal verschillende niveaus. Maar de gebeurtenissen op de verschillende niveaus zijn niet precies hetzelfde – veeleer vinden we er invariabele kenmerken in, ondanks de vele manieren waarop ze verschillen.” En op een andere plaats zegt hij: “Het is een kwestie van gewoonte om een recursief opsombare verzameling waarvan het complement ook recursief opsombaar is, ‘recursief’ te noemen. Dat laatste is natuurlijk voor P. de reden om te twijfelen aan het ‘recursieve’ karakter van de Mandelbrotverzameling, omdat volgens hem alleen maar het witte gebied recursief opsombaar is. Daar kunnen we van zeggen dat, dat witte gebied bepalend is voor het zwarte, want daardoor wordt er een grens aangegeven. Ik wil niet zeggen bepaald, want we zullen verder zien en hebben al gezien dat die grens problemen veroorzaakt. Dat gebeurt althans, als je de grens definitief vast wil stellen. Uit het verdere onderzoek zal echter blijken, dat juist die grens (die niet exact vast te stellen is) een verwijzing naar, een zeer rijke, complexe wereld kan zijn. We volgen hiervoor nog even Hofstadter: “Recursieve opsomming is een proces waarbij nieuwe dingen via vaste Regels voortkomen uit oude. Dergelijke processen zorgen naar het zich laat aanzien voor veel verassingen. ………. Schijnbaar vertoont dit soort recursief gedefinieerde reeksen een inherent toenemende complexiteit van gedrag, zodat ze, naarmate je voortgaat, ook minder voorspelbaar worden. Wat verder doorgevoerd doet dit vermoeden dat voldoende gecompliceerde recursieve systemen in staat zouden zijn zich van ieder vooraf vastgesteld patroon los te maken. Is dat niet een van de eigenschappen van intelligentie?” Hoe moeten we dit ‘minder voorspelbaar’ nu opvatten? Het is zoals gezegd een proces, waarbij ‘nieuwe dingen’ via vaste regels voortkomen uit oude. Je kunt ook zeggen uit dat wat ons bekend is, proberen we te begrijpen waar de ons bekende dingen uit voortkomen. Dat kan zeer veel opleveren, ook al wordt de hele zaak zo complex, dat we niet verder kunnen. Het vervolg zou dan wel eens niet meer voorspelbaar kunnen zijn. Het is dan een ‘grens’ aan onze kennis, maar is dat nu zo erg? Ja wellicht voor ‘zoekers’ naar een ‘theorie van alles’. Het stemt echter ook tot nederigheid.
Met ‘recursie’ kunnen we tot een grotere samenhang komen van de ‘dingen’ die we onderzoeken.
Om een brede kijk op dit soort problemen te krijgen, volgen we nog een redenatie, deze keer van Robert Kaplan : “Ik beschreef in hoofdstuk 4, hoe recursief abstraherend de essentie van de wiskunde is: ‘Zodra je gebeurtenissen samenweeft tot een coherent netwerk, reduceer je dat tot een knoop in een andere netwerk op een algemener niveau’.” Dat is een prachtig uitgangspunt, zij het dan, dat we moeten vaststellen wat ‘het netwerk op een algemener niveau’ is, waarom? Wel het is mij niet bekend hoe Penrose over zo’n definitie denkt, misschien zit het probleem in het niet geheel begrijpen van de Mandelbrotverzameling? Het zou kunnen dat het ‘zwarte’ gebied, de fractal het ‘algemenere niveau’ is, hoewel je misschien zou denken dat het witte gebied het ‘algemenere’ niveau is, omdat volgens het herhaald toepassen van de functie er telkens nieuwe niveaus ontstaan. Deze zouden we kunnen opvatten als ‘knopen in een ander netwerk op een algemener niveau’. Maar de vraag rijst is het niet net andersom? Is het witte gebied dat grenst aan het zwarte in werkelijkheid niet steeds complexer? Dat blijkt als we ‘inzoomen’, zoals Penrose het noemt, het is ongrijpbaar, onvoorspelbaar dus door die complexiteit. In eerste instantie lijkt het ‘zwarte gebied’ complexer te worden naarmate we verder inzoomen. Dat is schijn, want de details die we ontdekken, door het ‘inzoomen’, tonen door hun vorm (steeds kleiner, sprietiger) dat het witte gebied een grens heeft die steeds moeilijker te bepalen is. Als het witte gebied complementair is aan het zwarte dan zou je zeggen dat het zwarte en het witte even complex zijn, dat is te simpel. Van het witte gebied weten we in feite niet meer dan dat de grens bepaald wordt door het verder inzoomen van het zwarte gebied. Zou je dan kunnen stellen dat het witte gebied eigenlijk niet bestaat, maar dat ‘slechts’ het zwarte gebied zo complex is dat we het nooit in zijn geheel kunnen omvatten, hoe ver we ook inzoomen. Dat zou misschien een ‘mooie’ gedachte zijn voor degenen die denken dat het ‘zwarte gebied’ staat voor wat wij denken dat realiteit is. Het kan echter ook anders opgevat worden. Het ‘witte’ gebied is van een andere orde dan het ‘zwarte’. Het ‘witte’ gebied vertegenwoordigt een continuüm (een wiskundig in dit geval). Het binnendringen van het witte gebied door het inzoomen van het zwarte kan alléén maar door steeds kleinere, fijnere structuren, zoals we zagen overgaand in sprieterige draden. Dat kan betekenen dat hoewel we pogen binnen te dringen in het continuüm, het niet mogelijk is. Het kan ook betekenen dat eindige dingen, hier dus de steeds kleinere structuren, geleidelijk overgaan in oneindige.
Deze gedachtengang lijkt zinvol als we op het fysische gebied uitkomen. Daar lijkt er veel voor te zeggen dat, wat wij het deeltjes (atoom en kern) niveau noemen, het algemenere niveau is en het door mij reeds aangehaalde gebied van het vacuüm het complexere niveau is, dat naarmate het complexer wordt moeilijker te begrijpen valt. Denk hierbij aan Feynmans methode van ‘padintegralen’ en ‘diagrammen’. (zie aldaar)
Recursief of niet, er valt veel te leren.
Of de Mandelbrotverzameling verzameling nu wel of niet recursief is, is misschien niet zo belangrijk. Wat wel belangrijk is, kunnen we er iets van leren? Als we van Hofstadter’s definitie uitgaan dan lijken dergelijke verzamelingen wel degelijk recursief, want ‘hetzelfde’ op verschillende niveaus, niet precies hetzelfde, maar met ‘invariabele’ kenmerken. Er is ook een grens (de beruchte die niet vast te stellen is) ze lijkt aan te geven dat er gelijke kenmerken in zitten. Het witte gebied markeert het zwarte, het is bovendien complementair alleen we kunnen niet, nog niet, vaststellen of beide delen recursief opsombaar zijn. Dus waar zitten we mee, enerzijds als we de grens negeren en we ‘n algoritmische bewerking afdwingen, dan gaat er complexiteit verloren. Dat wil dus zeggen dat we een deel van de informatie verliezen, of op zijn minst niet te weten kunnen komen. Dat word geïllustreerd door de ‘eenheidscirkel’, we vinden een algoritme voor de punten binnen de cirkel of er buiten, maar we kunnen niets zeggen over de punten op de grens. Anderzijds liet Penrose zien in zijn uiteenzetting van de Mandelbrotverzameling, dat we een algoritme hebben voor de punten in het witte vlak. Het zwarte vlak wordt begrenst weergegeven, we kennen dus de grens van het witte/zwarte vlak, maar zegt hij er is geen algoritme (nog niet) om te bepalen of een punt in het zwarte vlak ligt.
In beide gevallen moeilijkheden, de grens negeren: verlies aan complexiteit, de grens vastleggen: geen duidelijk algoritme, ‘n niet recursieve verzameling. Hoe dan ook, in beide gevallen verlies van informatie. Toch lijkt het uitgangspunt ‘de grens negeren’ tot de ‘meeste’ informatie te leiden, althans als we afzien van wat voor ‘wiskundigen een onbevredigend standpunt’ is, namelijk ‘het precies formuleren van wat er òp de grens gebeurt’. Penrose’s eerdere beschrijving van de Mandelbrotverzameling lijkt in deze richting te wijzen . In feite geeft hij het spectaculaire van de fractale wiskunde weer. Hij laat een wonderlijk landschap zien, dat bij verder inzoomen, dat wil zeggen de details vergroten, deze details op het oorspronkelijke geheel lijken, maar niet geheel en al. Het geheel lijkt op een torretje en de uitvergrote details op baby torretjes, waaraan op hun beurt bij uitvergroten weer baby torretjes groeien. Dat gaat eindeloos door niettemin lijkt het op recursie volgens de definitie van Hofstadter: ‘Het gelijktijdig optreden van hetzelfde, op verschillende niveaus, echter niet precies hetzelfde maar met invariabele kenmerken’. We vinden telkens weer nieuwe baby torretjes. Een kenmerk is echter nog opvallender, telkens ontspringen er zogenaamde ‘draden’ aan zo’n torretje. Die draden verschillen enigszins van de grotere structuur, de structuur die er aan voorafgaat van heel groot tot heel klein. Penrose zegt: “We kunnen steeds verder inzoomen, we vinden een eindeloze verscheidenheid. Geen twee gebieden zijn precies gelijk en toch is er een algemeen patroon dat steeds terugkeert. Deze wereld is niets anders dan een stuk abstracte wiskunde, de ‘Mandelbrotverzameling’. Het kenmerk van de Mandelbrotverzameling is dat ze uiterst gecompliceerd is en toch gegenereerd wordt door een doodsimpele regel.” Wat is het belang hiervan, is het alleen maar ‘abstracte wiskunde’? Dan toch wel van een bijzondere soort. Dr. Gerwin Karman spreekt in dat verband over: ‘de onpeilbare diepten van de wiskunde’. Dat doet denken aan ontdekken en niet aan uitvinden.
Kan abstracte wiskunde de ‘realiteit’ weergeven of verhelderen?
Hebben fractals of fractale wiskunde nu realiteitswaarde in die zin dat je de beginselen ervan in de natuur terugvindt? Dat is een tijdlang gedacht, maar in het aangehaalde artikel komt een principe naar voor, dat tot nadenken stemt: “Een echte fractal behoudt zijn structuur bij willekeurige vergroting of verkleining. In de werkelijkheid zit daaraan altijd een grens. De ‘fractale’ kustlijn houdt op te bestaan als je inzoomt tot op de schaal van een zandkorrel. Fractale wolken, bloedstelsels, varens en kustlijnen lijken dus alleen maar op fractals of fractale structuren.” Daarin moeten we het belang niet zoeken, dat is slechts een kortstondige hype. Veeleer zouden we de wiskundige eigenschappen ervan kunnen gebruiken, om het verband tussen eindig en oneindig te leren zien. Te doorgronden is misschien wat veel gevraagd, maar enig zicht erop zou al helpen. Om hierover wat gedachten te vormen gaan we verder met Penrose, die ook al gebruikt hij metaforen als kustlijnen, bloemen, koraalriffen, torretjes en wratten, het over abstracte wiskunde heeft. Maar ook al is ze abstract, dat sluit niet uit dat het ‘n weergave van de realiteit kan zijn, zij het een dieper gelegen realiteit dan de genoemde metaforen zouden aangeven. Hij zegt: “Maar wat er op het eerste gezicht uitziet als een bloem, blijkt na verdere vergroting te bestaan uit talloze kleine, maar ongelooflijk gecompliceerde structuren, elk met talloze draden en wervelende spiraalvormige staarten.” Volgen we Penrose verder dan blijkt dit voorgaande eindeloos door te gaan, de staarten blijken dan veeleer een kluwen van draden te zijn die alle kanten opgaan, met talloze kleine spiralen en vormen. Het blijkt dat op die plaatsen waar twee spiralen samenkomen, er verbindingen zijn tussen de draderige structuren. Vergroten we dan nog verder dan blijkt, verrassing, er een babytorretje temidden van die draderige structuur te zitten, bijna identiek aan de grote figuur als geheel. Bij verdere vergroting zien we dat de draden die eruit ontspringen enigszin verschillen van de grote structuur en ‘dat ze relatief meer en meer verder weg kronkelen’. Zo kunnen we eindeloos doorgaan, Penrose hierover: “We kunnen deze vreemde wereld………zo lang verkennen als we willen en onze camera steeds verder laten inzoomen en dan vinden we een eindeloze verscheidenheid: geen twee gebieden zijn precies gelijk en toch is er een algemeen patron dat steeds terugkeert. De inmiddels vertrouwde tor-achtige wezens komen op steeds kleinere schaal terug. En elke keer is het patroon van de draden die er uit ontspringen weer anders, telkens weer komen we voor fantastische nieuwe vergezichten van een ongelooflijk complexiteit te staan.” Dat doet allemaal sterk denken aan de definities van Hofstadter en Kaplan denken, maar wat het werkelijke belang ervan is, dat het van reële structuren overgaat in oneindigheid.
Het toont aan dat sommige dingen de realiteitswaarde sterk afhankelijk is van hoe wij denken over wat imaginair is. Bedenk dat dit slechts mogelijk is met complexe getallen, die uit een reëel deel én een imaginair deel bestaan. Bedenk eveneens dat de quantummechanica zonder deze complexe getallen niet eens mogelijk is, complexe getallen moeten dus in hun gehéél realiteitswaarde hebben. Zijn de objecten die erdoor gegenereerd worden echter ook reëel? Over het algemeen zou je zeggen er is niets reëels aan, want je kunt het niet vastpakken. Dat is een visie die uit de tijd is, voor vastpakken kun je ook detecteren stellen. Voor sommigen bestaat alles wat niet gedetecteerd kan worden niet. Het kan natuurlijk zijn dat wiskunde een (arbitraire) constructie van de geest is, het dan wel opvallend met hoeveel wiskunde we ons ‘wereldbeeld’ hebben kunnen opbouwen. Dat betekent niet dat we ons moeten afsluiten voor nieuwe dingen. Als we dus in dit verband van de Mandelbrotverzameling uitgaan die een voortbrengsel van complexe getallen is, dan kan het zeer de moeite waard zijn om te achterhalen welk deel ervan het reële deel en welk het imaginaire deel is. Als het begin ervan, betrekkelijk eenvoudig voornamelijk door de reële delen bepaald zou worden, dan kan het misschien zijn dat, dat voornamelijk het zwarte gedeelte omvat, en het witte gedeelte bepaald door het imaginaire deel van de complexe functie. De grens is dan nog tamelijk nauw omschreven, de informatie beperkt. Ik noem het liever geen verlies van informatie, omdat ik van mening ben dat, inherent aan de Mandelbrotverzameling, bij het steeds verder ‘inzoomen’ de informatie toeneemt. Dat wil zeggen ze wordt steeds complexer.
De Mandelbrotverzameling kan illustratief zijn voor, hoe ‘eindige’ dingen voortvloeien uit ‘oneindige’.
Dat alles zou er op kunnen duiden dat deze structuren een abstracte wiskundige weergave zijn van eindige dingen die overvloeien in oneindige, of daarin gebed liggen. Enigszins moet het mogelijk zijn om daardoor een (beperkt) begrip te krijgen van, hoe eindige dingen gebed liggen in oneindigheid. We gingen met P. ervan uit, dat het eindeloos doorgaat, maar misschien wordt het vervloeien zo sterk dat er een overgang duidelijk wordt, waar we van een continuüm gaan spreken. Waar iedere discontinu onderverdeling wegvalt. Deze benadering kan van groot belang zijn voor de fysica, omdat naar het zich laat aanzien weleens fysische realiteit zou kunnen weerspiegelen. In ieder geval, we hadden het er al eerder over, is er een sterke overeenkomst met de Feynman padintegralen methode, gevisualiseerd door zijn diagrammen, die in feite ook oneindig doorlopen, maar die men beperkt tot zo’n zeventig of tachtig. Hier doet men dus ‘vrijwillig’ afstand van informatie en dat komt omdat men denkt daar niets meer aan te hebben en tevreden is met een resultaat van zo’n negen cijfers achter de komma. Als fysische stelsels in fundamentele zin met oneindigheden verbonden zijn en eruit voortkomen, of teruggeredeneerd erin opgaan, dan zou de fractale wiskunde er een beeld van kunnen schetsen. Zelfs als fractale wiskunde geen fysische grond heeft, dan nog zou ze nuttig zijn, we zouden haar dan als gevisualiseerde oneindigheden versus eindigheden kunnen beschouwen. Als een hulpmiddel om in verhoudingen eindig-oneindig te leren denken.
Op zich lijkt het beeld dat fractals oproepen heel duidelijk, omdat ze, zeg maar op ons niveau, een nauw omschreven entiteit voorstellen, hetzelfde zien we in de fysica. Op diepere niveaus blijft de fractal in zekere zin nauw omschreven, met kleine variaties weliswaar, maar voldaan aan het ‘recursie principe’ in essentie hetzelfde, maar toch anders. Dat gaat door tot in een oneindige herhaling, in steeds diepere lagen van de wiskunde. Eigenlijk is zo’n fractal omvattender dan een eenvoudige verzameling van punten, hoewel we daar wel de grondbeginselen van verzamelingen van kunnen leren. Een fractal wordt immers gegenereerd door complexe getallen, door herhaalde complexe functies en dat geeft een interessanter beeld dan dat van alleen maar punten. Ook al worden die punten, in bijvoorbeeld de Mandelbrotverzameling, vastgesteld door complexe getallen. De complexe getallen bestaan immers uit een reëel en een imaginair deel, dus zou het zinvol zijn om niet zozeer aan het resultaat te denken, de punten, maar aan de complexe getallen zelf, dat wil zeggen, een ruimtelijk beeld voor ogen zien te verkrijgen. Bij fractals is dat dan twee dimensionaal, maar gaan we naar een eventuelere realiteitswaarde, dan zal zo’n beeld driedimensionaal dienen te zijn. Hierbij denk ik aan een ruimte, die eigenlijk een ruimtetijd entiteit is, een orbitaal als maximale maat voor een elektronconfiguratie. Maar hier willen we eerst wat dieper ingaan op wat een Mandelbrotverzameling eigenlijk is. Strikt genomen is ze eigenlijk een ‘verzameling’ van ‘verzamelingen’ ook wel een ‘klasse’ genoemd.
Rucker zegt hierover : “Wiskundigen gebruiken de term ‘klasse’ voor een collectie of veelheid. Een klasse is al dan niet unificeerbaar tot een verzameling. Als ze het niet is, spreken ze van ‘n echte klasse. V is dus een echte klasse. V is een vele die niet gedacht kan worden als een ‘Ene’.” Ter verduidelijking V is dan een verzameling, die niet in zijn geheel overzien kan worden. Je kunt er niet over denken als over een afgerond geheel, een verzameling die precies uit een aantal afgepaste elementen bestaat. Een fractal als de Mandelbrotverzameling is dus een ‘échte klasse’, ze is niet unificeerbaar tot een verzameling, want ze loopt oneindig door, althans zolang de kennis ons ontbreekt om het punt, of overgangsgebied, te bepalen, waar de elementen vervloeien in een continuüm. Toch bestaat ze uit elementen zoals iedere echte verzameling, want iedere herhaling, met kleine wijzigingen, kun je opvatten als een element. Ieder element op zich kan weer opgevat worden als een verzameling en dat gaat eindeloos door.
Feitelijk en/of potentieel komen weer in het beeld.
Tegelijkertijd praten we over feitelijkheden, al omvatten die niet het geheel in die zin dat ze exact vast te stellen zijn. Dat lijkt tot een controverse te leiden, zoals we eerder zagen, tussen feitelijke en potentieel oneindig. Potentieel oneindig: iets wat onbereikbaar is, mogelijk, maar zeker weten doe je het niet, geen vaststaand feit. Terwijl feitelijk oneindig over oneindigheden gaat die in ieder geval, wiskundig vast te stellen zijn. Het lijkt een onverzoenlijk standpunt op te leveren, maar dat hoeft niet omdat ieder begrip zijn eigen toepassingsgebied heeft. Bovendien is het eerder een semantische kwestie, in beide gevallen is de vraag: ‘wat wordt er eigenlijk bedoeld’? Als we die vraag weten te beantwoorden, dan blijkt al snel dat er meestal over hetzelfde wordt gesproken, alleen vanuit verschillende invalshoeken en nuances. We gaan verder met Rucker, in het bovenstaande gaf hij al aan waar de ‘schoen wringt’. Een zogenaamd onvermogen tussen het ‘éne’ en het ‘vele’. Het vele, zeg maar alles wat je ook maar aan onderdelen, van maatschappij, heelal of wat maar ook, zou je onmogelijk als éne kunnen zien. We zullen zien dat, dat een fictie is, die ontstaan is door een overdreven streven naar details. Daar komt nog de invloed van het moderne atheïsme bij, waardoor het voor degenen die daar gevoelig voor zijn, ten ene male onmogelijk is iets te kunnen aanvaarden dat boven het materiële uitstijgt. En het moet gezegd worden, in een puur materiële zienswijze, is daar ook geen plaats voor. Zo’n visie leidt onherroepelijk tot moeilijkheden, dat valt al snel in te zien als we bedenken dat het begrip oneindigheden, doorgaans alleen maar als foute, zieke theorieën gezien worden, als we deze oneindigheden tegenkomen.
Om dit verder uit te werken volgen we in het deel hierna twee vraagstellingen, als eerste: Is materie eindeloos deelbaar, of niet? Zijn er fysisch gesproken ‘kleinste deeltjes’? En als tweede: ‘Oneindigheden in de denkwereld’.