6.1 Oneindigheden in wiskunde, getaltheorieën, filosofie en natuurkunde.
Een controversioneel onderwerp
Het begrip ‘oneindig’ heeft altijd veel mensen beziggehouden. Zowel in bovenstaande wetenschapsgebieden als in religie. Bij wetenschappers komt religie nogals eens naar voren als iets dat je moet mijden. In de grond van de zaak komt het denken over oneindigheid voort uit de vraag naar ‘het hoe of het waarom van ons bestaan’. Dat geldt zowel voor filosofie als voor religie. In wetenschappelijke disciplines echter duiken, hoogst merkwaardig, allerlei oneindigheden op. Of we deze serieus moeten nemen, levert heel wat controverses op! In de fysica spreekt men heel snel over zieke theorieën, onzinnige uitkomsten of kortweg flauwekul. Niet alle fysici doen dit. In de astronomie wordt het begrip van tijd tot tijd belicht. Steady state theorie, oneindige heelallen, cyclusheelallen enz. Maar evenzo vrolijk: ‘een heelal uit niets’ van ‘Big Bang’ tot ‘Big crunch’. Of ‘eeuwige uitdijing’. Eeuwig in dit verband nutteloos, want eindeloze koude dood. Religie en filosofie overlappen elkaar en geven gradaties van ‘een oneindige God’ tot ‘oneindig niets’, of de ontkenningen daarvan, eveneens in tal van uiteenlopende ideeën die tot niets lijden of elkaar tegen spreken.
De strijd erover woedt al vanuit de ‘oudheid’.
In wiskunde- en getaltheorie woedt de strijd al vanuit de oudheid. In een redelijke mate is succes geboekt, onder andere door Cantor (De Verzamelingen). Hoewel hierdoor weer nieuwe problemen zijn geschapen, bijv. de continuümhypothese. Zijn verzamelingen aftelbaar? Is er een absoluut kardinaal getal? Omega Ώ genoemd? Maar ook voor en na Cantor werd er over na gedacht. En er duiken oneindigheden op die niet altijd als zodanig herkend worden. Of men beschouwt ze als theoretisch, niet als realiteit. Hierbij denk ik aan reële getallen, imaginaire getallen en complexe getallen. Dan de bekende Mandelbrot-verzameling(en). Veelal worden al deze problemen afgedaan als onberekenbaar, als we ze onder de loep nemen dan zal duidelijk worden dat er een steeds terugkerend principe in zit. En wellicht een patroon dat kan aangeven dat er een verhouding oneindig/eindig blijkt te bestaan! Allereerst zullen we verschillende van de genoemde voorbeelden en andere bespreken, zodat we zien dat het een alomvattend verschijnsel is. We zullen in het volgende deel de begrippen ‘potentieel’ en ‘feitelijk’ tegenkomen en ‘zien’ dat deze niet zover van elkaar afstaan, dat daarvoor oeverloze discussies nodig zijn.
Oneindig, potentieel of feitelijk
Twee uitgangspunten komt men tegen, ‘denkscholen’ zo men wil. De ene gaat er van uit dat oneindig geen bovengrens heeft, men kan tellen 1,2,3,4,5… (… geeft aan: je kunt oneindig doorgaan). Het blijft iets wat onbereikbaar is. Herman Weyl: ‘Altijd in wording, nooit bereikt’. Men spreekt van potentieel oneindig, dat wil zeggen: ‘mogelijk oneindig’, zeker weet je het niet, het is geen vaststaand feit. In deze visie is oneindig geen getal of zoiets. Het lijkt aftelbaar, maar dat is slechts schijn, want het gaat eindeloos door. De andere ‘school’ gaat uit van oneindigheden die ‘feitelijk’ zijn. Je kunt er afgeronde ideeen over hebben. Bernhard Bolzano begon een wat steviger grondslag te leggen voor het begrip ‘feitelijk oneindig’. Als oneindig niet als iets onbereikbaars opgevat zou kunnen worden, maar als een voltooid begrip, dan kun je ‘oneindig’ met dezelfde zekerheid aanpakken als andere wiskundige onderwerpen. Cantor en Weierstrass ontwikkelden deze gedachte verder en zo stelt men: paradoxen als die van ‘Zeno’, die ogenschijnlijk spelen in de opvatting van het ‘potentieel’ oneindige, zouden zijn opgelost! Paul Davies zegt daarover: “Althans, tot tevredenheid van sommige wiskundigen en filosofen”. Dat is zoals we zullen zien afhankelijk van hoe je tegen de dingen aankijkt en hoe je over paradoxen denkt. Paradoxen onstaan soms doordat men dingen wil berekenen die niet te berekenen zijn. Hoewel Cantor e.a. beweerden het probleem opgelost te hebben, blijkt dat niet zo te zijn, het probleem is alleen verschoven. De twee opvattingen feitelijke en potentieel oneindig met elkaar vergeleken, laten dat zien. We komen op het begrip ‘continuüm’ uit. De opvatting van Aristoteles en de scholastici was: “een continuüm kan niet uit indivisibelen bestaan”. Dat wil zeggen: uit principieel de kleinste stukjes. Voor hen bestond geen kleinste lijnsegment, geen punt dus, aangezien ieder deel weer deelbaar is! Dat wordt gëillustreerd door de reële getallen lijn. Deze kan steeds weer in nog kleinere stukjes (getallen) verdeeld worden, waarvan we later zullen zien dat zo’n getallenlijn op zijn best een benadering van een continuüm kan geven.
Een rol weggelegd voor het continuüm.
Daarnaast stelt Cantor, toch een voorstander van ‘feitelijk oneindig’ dat het onmogelijk is een aftelbare verzameling, als een een-een-duidige afbeelding op de punten van een continuüm te construeren. Als je de verzameling van de natuurlijke getallen als 1-2-3-4-5 … aftelt (afbeeldbaar) op een continuüm, dan kun je eindeloos veel getallen tussen 1 en 2, tussen 2 en 3, enz inpassen. Hoewel Cantor dus een voorstander van ‘feitelijk’ oneindig was, geeft deze uitlating van hem te kennen, dat ‘potentieel’ oneindig op het continuüm toegepast kan worden, Aristoteles dus! Het begrip ‘potentieel’ oneindig dient een herwaardering te krijgen. Dit gekoppeld aan Aristoteles en de Scholastici: dat er geen kleinste lijnsegment bestaat, geeft te kennen dat ‘n continuüm eigenlijk ondeelbaar is. Voor we ons al te vlug uitspreken voor de een of andere ‘school’, zullen we moeten vaststellen wat de begrippen eindig en oneindig precies inhouden. We moeten leren zien waar het zinvol is over ‘oneindigheden’ en waar over ‘eindigheden’ te spreken. Dat zal veel duidelijk maken, ook al zullen we ‘oneindigheden’ niet geheel begrijpen, wil dat toch niet zeggen dat het ‘onwetenschappelijk’ is om erover na te denken. We kunnen hierbij aan Gödel denken en zeker niet meteen zeggen wat een metafysische onzin, dat is een ‘oogkleppenstandpunt’. In het volgende deel zullen we diverse voorbeelden bespreken die berusten op een verkeerd begrip van ‘potentieel’ en ‘feitelijk oneindig’, en tegelijkertijd zullen ze naar oneindigheden verwijzen. Het zal een ondersteuning zijn om te begrijpen dat ‘eindig’ niet kan bestaan zonder ‘oneindig’ en daar logisch uit voortvloeit.