4.2 De complexe getallen.
In het voorgaande kwam al sterk de opvatting naar voren dat de golffunctie van bijvoorbeeld een elektron, een realiteitswaarde heeft. In dit deel over de complexe getallen wordt dat nog eens extra belicht. De gedachte hierachter is dat als je gebruik maakt van fysisch-wiskundige rekensystemen, deze verwijzen naar een realiteit en je de zaak niet af kunt doen met: ‘alleen de uitkomsten hebben realiteitswaarde’. Dat zou erop lijken dat je alleen een gebouw dat kant en klaar is als realiteit beschouwt. Echter in dat gebouw zitten tal van gegevens, zonder wie het niet kan bestaan, als trek, druk, spanning en allerlei maten, parameters, die deels specifiek zijn voor dat gebouw, deels algemeen voor gebouwen. Er is natuurlijk een hele theoretische beschrijving aan vooraf gegaan. Je zou dat kunnen vergelijken met het quantumformalisme, of op zijn minst met de Schrödingergolfvergelijking. Maar het zal duidelijk zijn dat de gegevens beschreven of berekend, voorafgaand aan de bouw, verwijzen naar reële toestanden. Zo treft men in de Schrödingergolfvergelijking complexe getallen aan. Deze worden doorgaans als wiskundig gereedschap beschouwd zonder enige realiteitswaarde, dat zou een misvatting kunnen zijn. Als je alleen maar een sluitende golffunctie beschrijving kan geven met behulp van complexe getallen, dan is de consequentie dat de resultaten van die golffunctiebeschrijving alleen maar kunnen bestaan of tot bestaan komen als die complexe getallen ergens naar verwijzen. Dit imaginaire deel van de golffunctie is gekoppeld aan een totaal, een configuratie. Bijvoorbeeld een elektron, dat alleen maar bestaansrecht heeft door middel van dat imaginaire deel.
Nu zal men misschien zeggen, we kunnen het reële bestaan van een elektron niet alleen met reële functies beschrijven omdat het een quantumdeeltje is en geen klassiek. In de waarden die bij experimenten gevonden worden zitten echter geen imaginaire delen, men zegt: ‘het zijn exacte uitkomsten tot op negen cijfers achter de komma nauwkeurig’. De hele golffunctie beschrijving van een elektron bijvoorbeeld lijkt wel wat op de formele wiskundige systemen van Hilbert, Russell en Whitehead om eens en voor altijd tot eensluidende, afgeronde systemen te komen. Gödel toonde aan dat formele wiskundige systemen onbeslisbaar zijn. We zagen al eerder dat quantumformalismes in feite ook onbeslisbaar zijn, (zoals Feynmans padintegralen methode). Over het algemeen houdt men niet van onbeslisbare systemen, de realiteit is dat ze er zijn, (iets soortgelijks als Gödel is: ‘het zg. stopprobleem van Turing’). Die delen van een golffunctie die imaginair zijn komen overeen met die onbeslisbare gedeeltes. Het lijkt dus redelijk dat er een begeleidende omgeving bij ieder door ons gedetecteerd deeltje is. Dat deze begeleidende omgeving [1] onbeslisbaar is komt doordat ze in oneindigheden uitmondt. Dat hoeft ons niet te verontrusten, het heeft niets te maken met ‘zieke theorieën’, het toont ook niet aan ‘dat er met een theorie iets grondig mis is’. Hooguit is er met onze interpretatie iets grondig mis en laten we mogelijkheden liggen om meer kennis te verkrijgen.
Een juist begrip van de complexe getallen verdiept ons inzicht.
We houden in gedachten wat in het vorige deel beschreven is over de golfvergelijking, in feite gaat het over hetzelfde. Alleen belichten we hier wat de rol van de complexe getallen zou kunnen zijn. Bij de berekening van een golf maakt men gebruik van getallen. Ieder van deze specifieert ’n punt waar een golf langs komt. Dit doen we aan de hand van enkele aanhalingen [2] van St. Weinberg, hij haalt enkele voorbeelden aan als licht- en geluidsgolven: Elektronen als golf bezien kunnen blijkbaar ook met deze methode beschreven worden. Op soortgelijke wijze kunnen getallen een golffunctie weergeven. Die getallen geven dan informatie voor elk tijdstip en de ontwikkeling in of nabij een atoom. Weinberg vervolgt nog met zeggen dat in die tijd niemand wist ‘welke natuurkundige grootheid’ die getallen beschreven. Vandaag de dag weet men dat over het algemeen nog niet, men zegt: ‘de waarde van de golffunctie geeft de waarschijnlijkheid aan dat een elektron op een bepaald punt is’. Een zuiver natuurkundige beschrijving van een golffunctie is het dus nog steeds niet. Hoewel de Schrödingervergelijking die mogelijkheid wel in zich heeft, ze beschrijft de dynamische ontwikkeling van een deeltjesgolf in de tijd. We gaan terug naar Weinberg, een voetnoot: “Natuurlijk bevat elk volume in de ruimte een oneindig aantal punten en is het niet echt mogelijk de getallen die een golf weergeven uitputtend op te sommen. Ter wille van de beeldvorming (…)is het echter mogelijk de ruimte voor te stellen als een heel groot, maar eindig aantal punten, die zich uitspreiden over een heel groot, maar eindig volume”. Dat laatste, ‘een heel groot, maar eindig volume’, moeten we nuanceren als we de toestand in een orbitaal willen beschrijven, dan is het een kleine ruimte. Wellicht groot ten op zichte van een elektron en wat nog belangrijker is ten op zichte van de planckmaten, die in de loop van dit verhaal steeds belangrijker worden.
Uitgaande dus van de realiteit van een orbitaal en de totstandkoming van een elektron d.m.v. de golffuntie die de elektrongolf beschrijft, geldt dat er in feite een oneindig aantal getallen mogelijk zijn, die de waarden van alle punten van de elektrongolf geeft in die ruimte die een orbitaal uiteindelijk is. Dat verwijst eveneens naar een oneindig-eindig aspect van een elektron. Zo’n opvatting leidt tot onbeslisbare procedures, maar ten eerste zijn die er toch al en ten tweede zullen we zien dat het aanvaarden ervan winst oplevert. Het is dus zinvol alle gegevens betreffende ‘eindig-oneindig’ (of omgekeerd) te onthouden. Hier moeten we ‘n verband leggen met ‘de complexe getallen’. Weinberg geeft een volgende voetnoot: ‘In feite gaat het om complexe getallen, complex in die zin dat ze gewoonlijk, naast de gewone positieve en negatieve getallen, de grootheid bevatten die met de letter i wordt aangeduid en die gelijk is aan de wortel uit min een. Het deel van een complex getal dat evenredig met i, wordt zijn imaginaire deel genoemd; de rest heet zijn reële deel.’ Weinberg gaat hier niet verder in, op wat hij een complicatie noemt, omdat ze volgens hem, hoe belangrijk ook, geen wezenlijke invloed heeft op de dingen die hij over quantummechanica wil zeggen. Het is mij niet bekend of hij deze gegevens enige realiteit toeschrijft, of ze louter ziet als behorende tot het quantumformalisme.
Imaginair tegenover realiteit.
Hoewel de benaming imaginair doorgaans wordt opgevat als niet tot de realiteit behorende, doe ik dat dus wel. En wel in die zin dat dit soort dingen tot een ‘achtergrond’ behoren die de basis vormen van wat wij doorgaans ‘de realiteit’ noemen. Een realiteit die wij als ‘tastbaar’ ervaren, en die onderhevig is aan quantificatie, en dus gehoorzaamt aan de constante van Planck. Maar er is meer en uit een volgende voetnoot zal dit blijken. Als we deze voetnoot op de voorgaande wijze bezien dan geeft ze interessante gegevens (al zal Weinberg het zo niet bedoelen). Een complex getal heeft dus twee delen: ‘een reëel en een imaginair’. Fascinerend is het dat beide delen gebruikt worden in de berekening van de golffunctie om bijvoorbeeld de waarschijnlijkheid van de positie van een elektron te bepalen. Als we reëel beschouwen als dat wat we kunnen duiden, dan betekent het dat er met dat reële deel een ander deel samenhangt, het imaginaire deel! Als dit zo in elkaar zi, dan is het toch niet onlogisch om beide delen als een geheel, en als fysisch te beschouwen! Het voorgaande is belangwekkend materiaal, want als we uitgaan van een zekere realiteitswaarde van de golffunctie, dan verdwijnt voorgoed het klassieke beeld van louter mechanische deeltjes, knikkertjes a.h.w., die rondom een atoomkern zwermen en die alleen maar statistisch te berekenen zouden zijn, omdat men nooit zeker weet waar ze zijn.
De complexe getallen en het ‘golf-deeltje’ probleem.
Echter omdat gedacht wordt dat het om een formalisme zonder werkelijkheidswaarde gaat is het klassieke vaste deeltje ingeruild voor iets dat we niet kunnen begrijpen, het dualistische golf-deeltje beeld. Waarom niet reëel denken en zien dat in al deze beschrijvingen van de golffunctie, juist de oplossing gevonden kan worden voor het oude golf-deeltje probleem. Zoals in het voorgaande deel 4.1 geeft ook dit deel een weergave die goed samengaat met een elektronconfiguratie, waardoor een elektron gevormd wordt. Een elektron dat positie bepaald is en overeenkomt met het klassieke idee van een deeltje, omdat het op klassiek niveau getild wordt. Het is een elektron dat er niet altijd als klassiek deeltje is, zodat we tussen twee momenten dat het zich op klassiek niveau bevindt, we over een elektronconfiguratie spreken. Dat we dat kunnen komt doordat de complexe getallen een ‘reëel’ deel en een ‘imaginair’ deel beschrijven. In feite ligt het heel eenvoudig: ‘op die momenten dat het elektron er is, d.w.z. als materiedeeltje, is het ‘reële’ deel het grootst en het ‘imaginaire’ deel het kleinst. Misschien is het ‘reële’ deel nooit honderd procent omdat we met het probleem van de ‘naakte’ massa zitten en een elektron, zoals gedacht, omgeven is door een wolk van virtuele fotonen. Overigens denk ik dat we beter over virtuele golven kunnen spreken.
Een elektronconfiguratie als een doorlopend proces.
Het imaginaire deel is dan het moment tussen twee manifestaties van een elektron als deeltje. Het reële deel is dan zo’n moment dat het elektron een deeltje is, het manifesteert zich dan op de manier van de ‘tal van interfererende golven, die een pakketje strak begrensd houden’ zoals in het vorige deel beschreven. Als nu echter zo’n deeltje weer uitwaaiert, dan krijgt het imaginaire deel weer de overhand. We kunnen eigenlijk spreken van een configuratie die een doorlopend proces ondergaat van imaginair zijnde naar reëel zijnde. Hierbij denken we bijvoorbeeld aan het verspringen van een elektron van een laag enrgieniveau naar een hoog energieniveau. Volgens de quantum opvatting is een elektron tussen twee niveau’s er in het geheel niet omdat het slechts in quantumstapjes omhoog of omlaag kan, het beweegt dus niet volgens de opvatting op een continu manier van hoog naar laag, of omgekeerd. Dat is niet strijdig met mijn doorlopende proces van imaginair naar reëel (of omgekeerd). Want de tussenliggende momenten die imaginair zijn, bevinden zich op een niveau waar tijd maal energie kleiner zijn dan de constante van Planck. Het ging om ‘tal van interferende golven ieder met eigen impuls’ en deze zijn talrijker naarmate ‘een deeltje, een golfpakketje nauwer begrensd wordt’. Dus ieder van deze golven zit onder Planckniveau wat de constante van Planck betreft. En met de constante van Planck als ‘parameter’ kun je niets anders dan het verspringen van een elektron beschrijven zónder tussenliggende stapjes. Dat is de reden dat men over virtuele fotonen spreekt die een elektron voortdurend vergezellen. Als we dus van een elektronconfiguratie spreken dan is het nu duidelijk dat deze configuratie nooit honderd procent reëel is, maar voortdurend met een imaginair deel verbonden is, echter in die zin dat dat reële deel het grootst is als wij detecteren, of in het natuurlijke atoom als een elektron zich op klassiek niveau bevindt.
De ‘lege ruimte’ in het atoom als een imaginaire ruimte.
Opnieuw uitgaand van het natuurlijke atoom komen we tot de conclusie dat er een imaginaire achtergrond, of milieu moet zijn. Algemeen stelt men is er 99,9999… procent lege ruimte in het atoom. Het restant, dat dus heel klein is wordt ingenomen door de deeltjesmassa, maar slechts op die momenten dat ze zich op klassiek niveau bevinden. Omdat het een doorlopend proces is, dat zich bovendien op een hele kleine tijdschaal afspeelt, komt het op ons over alsof er doorlopend sprake is van de massa van een atoom. Het is echter een gegeneraliseerde opvatting, die ontstaan is door de eis die constante van Planck oplegt. Daardoor is men alles wat niet aan deze eis voldoet als niet reëel gaan beschouwen. Nu blijkt echter uit deze hele afgeleide redenatie dat, dat niet terecht is. Hoewel de constante van Planck de weg vrij gemaakt heeft voor de hele ontwikkeling van de quantumtheorie, heeft het tegelijkertijd het uitzicht geblokkeerd en wel omdat nu alles verklaard ‘dient’ te worden vanuit de ‘ijzeren houdgreep’ van de quantummechanica. Zoals we al zagen leidt dat tot onbeslisbare procedures, die vervolgens niet erkend worden. Als we deze onbeslisbare procedures als reëel beschouwen dan komt er een heel ander beeld in het zicht. Het beeld van een realiteit die uit drie onderdelen bestaat. Namelijk een reëel deel, dat bestaat uit een gequantificeerde werkelijkheid die voldoet aan de eis van de constante van Planck, daarnaast een imaginair deel dat niet aan deze eis van de constante van Planck voldoet, omdat alle onderdelen wat tijd maal energie kleiner zijn dan deze eis. Als derde komen we uit in oneindigheden door de onbeslisbare fysisch-wiskundige reeksen, die gebruikt worden. Zoals de ‘pad-integralen methode’ van Feynman. Uiteindelijk zal dit leiden tot een consistent beeld van wat een elektron eigenlijk is, een configuratie die uit deze drie delen bestaat. (Mettertijd komen we tot een geheel van wat het atoom in feite is, maar we ontwikkelen dat stap voor stap.) In ieder geval is het belangrijk om als we spreken over imaginaire en zelfs oneindige toestanden, deze niet als fantasie te beschouwen, maar als complementair aan dat wat wij denken dat werkelijkheid is. Zo is het imaginaire deel van de complexe golffunctie complementair aan het reële deel van de complexe golffunctie. Ze zijn echter een geheel en we moeten niet fout maken die in de Kopenhaagse interpretatie[3] wordt gemaakt: ‘Omdat in de Kopenhaagse interpretatie de eigenschappen worden gedefinieerd door de aanwezige meetopstelling, kan het object dus niet gekarakteriseerd worden door de combinatie van twee complementaire grootheden.’
Ongedefinieerdheid is iets anders dan onzekerheid!
Het is duidelijk dat deze opvatting belemmerend gewerkt heeft, want zo krijg je dus geen inzicht in wat een geheel systeem eigenlijk voorstelt, omdat je steeds maar mag uitgaan van wat het meetapparaat mogelijk maakt: ‘het bepalen van de positie of het bepalen van de impuls’ Maar nooit zal je op die manier de ontwikkeling van een elektron kunnen beschrijven vanuit een zich ontwikkelende golffunctie die leidt tot een positie bepaald deeltje, Dat wil zeggen, de ontwikkeling van een elektron tot op het klassieke niveau. Een nauw omschreven golfpakketje dat overeenkomt met wat wij denken dat een materiedeeltje is. Daarvoor is er geen sprake van onzekerheid, het is alleen niet gedefinieerd als materiedeeltje. Bohr sprak dan ook liever van ongedefinieerdheid dan van onzekerheid. Het begrip onzekerheid is afkomstig van Heisenberg.
Wat ‘meten’ we eigenlijk?
Als we nu dat imaginaire deel als werkelijk beschouwen waarom merken we daar dan niets van als we metingen verrichten? Ten eerste en dat zal duidelijk zijn al onze metingen draaien om Planckmaten en wij zoeken naar uitkomsten die overeenkomen met ons inzicht in de quantumtheorie. Simpel gezegd we vinden wat we zoeken. Ten tweede bestaan onze apparaten uit macroscopische samenstelsels van quantumdeeltjes, die zoals we beredeneerden zich in meerderheid tegelijk op klassiek niveau bevinden. We kunnen zeggen er is altijd een groot aantal deeltjes die zich tegelijkertijd in een toestand bevinden die overeen komt met het gedetecteerd zijn, positie bepaald. Dat betekent dat hun golffunctie overeenkomt met de toestand die men ‘het ineenstorten van de golffunctie’ noemt. Op dat moment is ook het imaginaire deel van de complexe golffunctie weg of op zijn minst onbereikbaar. In feite kunnen onze macroscopische apparaten alleen de reële delen van die complexe golffunctie, of liever gezegd dat deel dat reëel kan worden, waarnemen en/of detecteren. Dat is eigenlijk de betekenis van wat wij de ‘ineenstorting van de golffunctie’ noemen. Zolang we de golffunctie met rust laten is er een hechte eenheid tussen de reële delen en de imaginaire delen van de complexe golffunctie. Alleen kunnen die delen groot of klein zijn, samen vormen ze een configuratie die altijd hetzelfde is. Het lijkt een beetje op een ruimte-tijd interval, en misschien heeft het er ook wel mee te maken, afhankelijk van de waarnemer is de ruimte groot en de tijd klein, of omgekeerd. Alleen zeggen we hier, afhankelijk van op welk moment wij zo’n configuratie zouden waarnemen (als dat kon), is het imaginaire deel groot en het reële deel klein, of omgekeerd. In ieder geval zal duidelijk zijn dat je niet zomaar wat met complexe getallen kan goochelen om een konijn uit de hoed, in dit geval een realistisch elektron, te toveren. Als we dit doen en daar lijkt het heel erg op, dan is er net als voor het konijn, een oorzaak voor het elektron. We komen vanzelf bij een ander ondersteunend onderwerp: ‘De elementaire velden als parameters’.