3.6 Paradoxen, zijn ze reëel of is het een gebrek aan inzicht dat ze opduiken?

3.6 Paradoxen, zijn ze reëel of is het een gebrek aan inzicht dat ze opduiken?

Een definitie, of liever twee, van een paradox geeft M. Drummond[1]: “Een paradox, in de strikte betekenis van het woord, is een logische redenering die gebaseerd is op schijnbaar juiste vooronderstellingen (premissen), maar die tot een duidelijk onjuiste gevolgtrekking leidt (conclusie)”. Bijvoorbeeld de wedloop tussen Achilles en de schildpad die een voorsprong heeft gekregen. Daardoor zou Achilles de schilpad nooit kunnen inhalen. Het begrip paradox kan ook gebruikt worden: “voor een juiste redenering, gebaseerd op juiste vooronderstellingen, die tot schijnbaar foutieve of tenminste zeer verrassende conclusies leidt”. Beide soorten komen voor in de moderne fysica, meestal afgeleid van paradoxen in de wiskunde. We kunnen natuurlijk denken laat ze daar, dan doen ze geen kwaad, maar verscheidene problemen in het verleden en nu zijn erdoor beïnvloed. We denken aan de paradoxen van Zeno, die met de interpretatie van ruimte en beweging te maken hebben, geen geringe onderwerpen. Paradoxen zijn niet altijd makkelijk te ontzenuwen. Hoewel de eerste soort altijd fout is, kunnen ze veel schade aanrichten omdat ze het menselijk denken vertroebelen. Ze moeten dus ontzenuwd worden en dan als afgedaan beschouwd te worden, wat toont de praktijk echter? Telkens opnieuw komen we ze tegen, ze hebben een hardnekkig leven. Dat kan betekenen dat ze misschien toch de een of andere waarheid bevatten, of men vindt ze interessant omdat ze een quasi diepzinnige tint aan onze redeneringen geven.

De tweede categorie is intrigerender van aard, ze kunnen misschien helpen om vast te stellen wat zinvol is en wat niet. Indien ze leiden tot ‘schijnbaar’ foutieve conclusies, kan het zijn dat men toch niet van de juiste vooronderstelling uitgaat, of in de redenering zitten mankementen. Indien ze leiden tot ‘verrassende’ conclusies, dan kan het op het eerste gezicht lijken dat je met de paradox blijft zitten. Zoals met ‘Schrodingers kat’ lijkt te zijn gebeurd. In dat geval komt men tot bizarre theorieën als de ‘Vele werelden theorie’, of het ‘Uitgestelde keuze’ experiment op heelalschaal. Hierover wil ik het volgende zeggen, het is gebaseerd op Wigner’s idee van het bewustzijn, dat in staat zou zijn om door een bovenzinnelijke daad een superpositie van twee toestanden, in een toestand te doen overgaan. Het komt er op neer dat wij door te kijken naar verre objecten, door onze waarneming de toestand van vroeger tot stand te brengen. Hierin zitten dezelfde paradoxen als die bij tijdreizen ontstaan. terug in de tijd schiet je grootvader dood voor de geboorte van je moeder, resultaat je kunt niet meer geboren worden. Zo ook als wij niet waarnemen, de vroegere situaties dan, dan kunnen wij nu niet bestaan. Zeg maar ons heelal zou dan pas in onze tijd tot bestaan gekomen zijn, want pas in deze tijd kunnen wij ‘het heelal’ waarnemen. Pas dán bestaat het in het verleden en kan het zich pas in het verleden ontwikkelen tot de huidige toestand, waarin wij kunnen bestaan. Maar die vlieger gaat niet op, want er ontbreekt een belangrijk punt, namelijk het begin de Big Bang en de eerste honderdduizenden jaren erna die wij niet kunnen waarnemen. Ergo wij bestaan niet.

Paradoxen en tijdreizen.

Ook de paradoxen die, naar men meent, ontstaan bij tijdreizen leiden tot verkeerde conclusies. Veelal wordt gedacht dat ‘tijdreizen’ ooit mogelijk zal zijn, als we maar over de technische mogelijkheden beschikken. Er lijken twee opties te zijn, vooruit of terug in de tijd. De eerste lijkt nog de beste kaarten te hebben. Niettemin kunnen we ons afvragen of er niet al te makkelijk met de ‘theoretische’ mogelijkheden wordt omgesprongen? Want waarop baseert men deze mogelijkheid? Dat vindt zijn idee in de ‘speciale relativiteitstheorie’, waarin gesteld wordt dat naarmate we onze snelheid opvoeren de tijd langzamer zou gaan. Theoretisch lijkt dat waterdicht te zijn, dus de redenatie gaat dan als volgt: ‘als we nu maar met een voldoend hoge snelheid ons gaan bewegen (zeg maar in een raket) de tijd voor ons langzamer gaat dan voor de achterblijvers. Omdat hier thuis de tijd zijn ‘normale’ gang heeft gehad, komen we dan misschien honderd jaar (of meer, of minder naar gelang onze snelheid) na onze vertrekdatum in de ‘toekomst’ uit. Nuchter gesproken worden wij alleen maar minder snel oud, de tijd ging immers langzamer voor ons, terwijl de ‘tijd’ voor de achterblijvers gewoon doorgaat, dus honderd jaar verder in de geschiedenis is beland. Dit impliceert nog niet dat je óók weer terug kunt naar je oorspronkelijke tijd, wat eigenlijk toch wel de echte manier van tijdreizen is. Over het algemeen wordt er in dat soort theorieën wel erg makkelijk met de ‘speciale theorie’ omgesprongen, want wat zijn de consequenties? Niet alleen gaat de tijd langzamer maar ook, en dat zou een breekpunt kunnen zijn, treedt er bij steeds hogere snelheden contractie op. Zouden wij dat biologisch overleven? Een volgend probleem is de benodigde energie, volgens de ‘speciale wet’ is er steeds meer energie nodig om te ‘versnellen’ in de richting van de lichtsnelheid, met op het niveau ván de lichtsnelheid oneindige energie. Maar goed laten we het nuchter beschouwen, misschien zijn ‘bescheiden’ snelheden, die toch al ‘tijdvertraging’ opleveren, haalbaar? Dan rest ons niets anders dan te onderzoeken, welke snelheden dat zijn en of deze energetisch mogelijk zijn, en niet minder belangrijk, wat kunnen we biologisch doorstaan? Het resultaat zal dan toch beperkt blijven, niet meer opleveren dan een beperkt aantal jaren in de ‘toekomst’ terecht te komen.

De (on)mogelijkheden van het terug in de tijd reizen.

Maar dan het ‘terug in de tijd reizen’? Daaraan kleven heel wat grotere bezwaren. In het voorgaande zagen we al, je kunt dan misschien naar de toekomst maar dat impliceert nog niet dat je óók naar het verleden kunt! Wat is daar voor nodig? In de eerste plaats een technische methode om de ‘tijd’, in ieder geval voor jezelf én het apparaat waarmee je wilt reizen om te keren. Hiervoor is het nodig om de ogenschijnlijke ‘onomkeerbaarheid’ van de tijd buiten spel te zetten. Alle theorieën hierover ten spijt lijkt het erop dat er een ‘onverbiddelijke’ asymmetrische tijdpijl bestaat. Stel dat het terug reizen in de tijd ‘theoretisch’ goed gegrondvest zou kunnen worden, wat zijn dan de fysische consequenties? Om ‘terug te kúnnen keren’, moeten al die werelden die er in het verleden bestonden, óf naast elkaar bestaan, of er moet een fysisch mechanisme bestaan dat het mogelijk maakt dat op het moment van ‘aankomst’ in het verleden de door ons ‘gewenste wereld’ aanwezig is. Noch voor het een, noch voor het ander, zijn er sterke fysische gronden, ongeacht wat de theorieën ook mogelijk achten. De misvatting is dan, zoals nogal eens wordt geopperd, dat alles wat een theorie mogelijk acht ook moet kunnen. De fysische consequenties zijn gigantisch, maar voor het gemak en omdat het populair is wordt daar nogal eens lichtvaardig mee omgegaan. Bedenk wat er nodig is in het eerste geval, dat is dat al die werelden in het verleden naast elkaar moeten bestaan willen we er werkelijk naar terug kunnen keren. Wat houdt dat in, ‘al die werelden’? Als we terug willen keren naar ieder moment (letterlijk betekent dat ook alle heel kleine momenten) dan moeten al die werelden naast elkaar bestaan! Dit soort opvattingen zijn duidelijk filosofische bedenksels die voortvloeien uit een al te enthousiast doordenken van implicaties van de speciale theorie. Zoals, er bestaan géén nu’s en heden en verleden bestaan naast elkaar. Het is duidelijk dat je hier inderdaad stuit op interpretaties (vooral filosofische) van wat tijd nu eigenlijk is.

De tweede optie is niet minder ongeloofwaardig. Daarvoor is het nodig dat er op ieder tijdstip dat we wensen te bereiken in het verleden, de wereld die bij zo´n tijdstip hoort op het moment van onze aankomst tot bestaan komt. In dit geval bestaan er buiten onze wereld in onze tijd géén andere werelden in het verleden. Op zich is dit een consequentere optie, immers alleen wij reizen in de tijd terug. De hele bestaande wereld die iedereen omvat die niet in de tijd terug reist, blijft gewoon in zijn eigen tijd. Niettemin zit ook hierin een fysische onmogelijkheid en dat is dat er telkens als iemand besluit terug in de tijd te reizen, er een compleet universum dat bij dat tijdstip behoort dient te ontstaan. En wel op hetzelfde moment van onze ´aankomst´. Mochten er veelvuldig tijdreizen terug in de tijd ondernomen worden, dan betekend dat er evenzovele universa dienen te ontstaan. Zulke ideëen schenden natuurlijk het behoud van energie. Je zou nog kunnen denken dat alleen dat wat nodig is om jou in de tijd terug te plaatsen ontstaat, misschien in zekere zin zelfs alleen maar virtueel, terwijl de rest van het universum gewoon in zijn eigen tijd blijft. Het is niet moeilijk in te zien dat we hier het terrein van de ´science fiction´ betreden en dat gaat zelfs degenen die fysische werkelijkheid menen te zien in de bestaande gegevens te ver. Alle mogelijkheden overwegend is het misschien zo dat het hele concept van tijdreizen (in ieder geval dat van terug in de tijd) nooit verder dan het niveau van science fiction zal komen. Dat kan weliswaar leuke ´gedachtespinsels´ opleveren, maar dat is niet de bedoeling.

In het juiste licht gezien hebben paradoxen enig nut.

Dit illustreert op welke dwaalwegen wij door filosofische gedachtegangen die tot paradoxen leiden komen. Timothy Ferris[2] geeft een sterke definitie van een paradox, en dat is: ‘Een stelling die met zichzelf in tegenspraak is. Paradoxen zijn het nuttigst wanneer alles erop lijkt te wijzen dat ze waar zijn, want in dat geval zijn ze het beste in staat de onvolkomenheden aan het licht te brengen in de gegevens of de argumentaties die aanleiding gaven tot hun verschijnen’. Als we dus de onvolkomenheden en de argumentaties weten te verbeteren dan zullen de paradoxen vanzelf verdwijnen. Hierbij moeten we een kanttekening plaatsen. Als we over onvoldoende kennis of gegevens beschikken, dan moeten wij extra voorzichtig zijn in de opbouw van onze redeneringen. Omdat wij als we vanuit bestaande kennis afleidingen maken of extrapoleren, om tot nieuwe inzichten te komen, heel gemakkelijk in nieuwe paradoxen kunnen vervallen, door onvermogen om bestaande gegevens op de juiste manier te interpreteren, of wat nog erger is door ongeduld en om snelle, ‘zogenaamde’ opzienbarende successen te boeken.

Achilles en de schildpad.

We komen terug op de paradox van Achilles en de schildpad. Waar gaat het om? Ze doen een wedstrijd, de schildpad daagt Achilles uit: ‘als ik een voorsprong krijg, dan haal je me nooit in’. Want zegt de schildpad eerst moet je de helft afleggen van de voorsprong, dan de helft van de helft van de voorsprong, Dan daar weer de helft van, en ga zo maar door. De voorsprong wordt steeds kleiner, maar wordt nooit geheel weggewerkt. Alsmaar moet Achilles de helft van de helft afleggen. Deze paradox wordt ook wel als volgt gebracht: ‘je kunt een kamer niet verlaten, je moet eerst de helft afleggen, dan de helft van de helft, dan de helft van de helft van de helft, ga zo maar door tot je een infinitesimale afstand moet halveren. Eindeloos dus. Geen speld tussen te krijgen, of niet? Hier komt ons gezonde verstand in opspraak, want de ervaring leert dat Achilles in ‘no time’ de schildpad zal passeren, en dat we een kamer kunnen verlaten. Eigenlijk is het een stupide stelling. Wij bewegen zo niet, in de helft van de afstand, en dan de helft van de helft, enz., enz. Waar gaat het eigenlijk om in de paradox van Zeno?          

In feite worden twee dingen door elkaar gehaald, namelijk ons bewegen is discreet in ‘afgepaste stappen’ groot of klein. Dat is afhankelijk van onze schaal, zeg maar afmetingen. We komen allemaal de kamer uit zelfs een heel klein insect, alleen duurt het daarvoor wat langer. Terwijl in de paradox niet met stappen gemeten wordt maar met steeds kleinere afstanden, tot oneindig klein toe. Als we de redenatie van Zeno volgen dan is de afstand die afgelegd moet worden, om de kamer uit te komen, en Achilles de schildpad moet inhalen, een oneindige reeks. Wij nemen gewoon stappen, en er is altijd een laatste stap die ons over de drempel van de kamer doet gaan of waar Achilles de schildpad inhaalt. Dat is duidelijk, maar het ging Zeno en sommigen die hem aanhalen om iets diepers, namelijk de aftelbaarheid van afstanden en lengtes. Of een nog belangrijker punt, is er een kleinste lengte? Of hoe ver gaan we in het vaststellen van zulke kleine lengtes en als ze er niet zijn wat is dan een redelijke maat waar we kunnen (mogen) eindigen in het bepalen ervan? We zullen in het verdere verloop zien dat met de beantwoording van deze vragen, een verdere ontwikkeling van fysica en astronomie staat of valt.           

De paradox verwijst naar oneindige reeksen.

De paradox wordt op deze wijze dus niet opgelost, de schilpad blijft voor op Achilles of we kunnen de kamer niet verlaten. Er blijft altijd een, al is het dan een uiterst kleine, afstand over die niet te overbruggen valt. Van een eindige reeks, de afstand van de kamer, maak je op deze manier een ‘oneindige’ reeks. Het is dus onbevredigend, omdat je de afstand niet kan bepalen als je uitgaat van een oneindige reeks. Dat is logisch want je blijft zitten met, weliswaar steeds kleiner wordende, infinitesimalen, een definitief einde bereik je niet. U zult zeggen een ‘kniesoor’ die daar op let, als we toch een voldoende kleine helft als eindpunt nemen dan kloppen onze berekeningen toch heel behoorlijk? Dat is ook zo. Maar het gaat om elementaire principes, niet om alledaagse berekeningen. De paradox zit hem dus niet in de afstand die Achilles en de schildpad moeten afleggen, maar in de manier van redeneren. Komen we paradoxen tegen dan moeten we de manier van redeneren ontzenuwen.

In feite is het arbitrair waar we de grens stellen en zeggen dit is de kleinste eenheid die we nog meetellen. Hoe ver we daarin gaan is niet alleen een conventie, een afspraak, nee het is een filosofisch standpunt. Enerzijds willen de meeste mensen graag zekerheid, afgeronde getallen, eenheden en precies bepaalde deeltjes. Voorstanders hiervan worden ‘finitisten’ genoemd, de naam zegt het al, ze willen een goed bepaalbaar einde of precies afgebakende eenheden. Anderzijds zagen we al dat de paradox van Zeno, eigenlijk op een oneindige reeks gebaseerd is. Dat is de andere kant van de zaak en we zullen in de loop van dit boek zien dat er in zekere zin tegemoetgekomen wordt aan beide standpunten. En, dat is bijzonder, zonder dat ze een paradox opleveren, of dat beide uitgangspunten inconsistent zullen zijn. Maar daar zijn we hier nog niet aan toe. Waar het om gaat is dus: hoe kijk je tegen paradoxen aan? Zijn het interessante stellingen die ons verder helpen, doordat ze gebieden blootleggen die onontgonnen terrein vertegenwoordigen, of verklaren wij ze dogmatisch voor waar en moeten dan de werkelijkheid als bizar aanvaarden? Het is maar waar je voor kiest. Op het eerste gezicht lijken paradoxen heel rationeel te zijn, maar zoals we zagen hangt het gebruik ervan veeleer af van de filosofische instelling van een gebruiker. Het aanvaarden van paradoxen, in de zin dat ze onoplosbaar zijn, komt meestal voort uit een irrationele geest die paradoxen voor de werkelijkheid aanziet. De rationele geest beseft echter dat de paradoxen de werkelijkheid versluieren, goed gebruikt kunnen ze ons verder helpen. Uit de paradox van Zeno is gebleken dat er twee kanten aan de zaak zitten, die van de oneindige reeksen, die het ogenschijnlijk moeilijk maken om afstanden te bepalen, maar ook om dingen als eindig te kunnen beschouwen. Dat roept vragen op als: wat zijn afmetingen? Hoe bepalen we grenzen? Als paradoxen vragen oproepen, stimuleren ze ons denken. Zo’n paradox is Zeno’s paradox van de pijl. Ze raakt aan de fysica en de astronomie, want ze gaat over de vraag of ruimte verdeeld kan worden in ‘punten’ of in eindige delen. Aansluitend daarop de vraag is er een kleinst mogelijke maat waaruit die eindige delen bestaan? Of is de ruimte continu en kan ze oneindig verdeeld worden in steeds kleinere delen? Dat behandelen we in een andere context.

De regelparadox van Lewis.

Deze regelparadox is van belang omdat ze duidelijk maakt dat we zorgvuldig met onze redeneringen dienen om te gaan, zodat het begin en het eind ervan consistent met elkaar zijn. Dat wil zeggen dat iedere stap logisch uit de vorige dient voort te komen. dat is niet eenvoudig maar hard nodig omdat we anders met paradoxen blijven zitten. Anderzijds legt ze de nadruk op het feit dat als we dingen willen verklaren we een soort ‘regel’ (vandaar de naam) nodig hebben om een voorgaande uiteenzetting te begrijpen. Dat grijpt rechtstreeks in op onze methodes van interpretatie, die zoals we al zagen dringend aan een onderzoek toe zijn. Douglas R. Hofstadter [3] geeft een definitie van deze regelparadox: ‘Om een regel (’n korte boodschap) te begrijpen moet je over een andere regel beschikken die je vertelt hoe je die eerste regel moet gebruiken; anders gezegd, er bestaat een oneindige hierarchie van niveaus van regels, waardoor er nooit een regel wordt toegepast’ Dit is wel een heel vergaande paradox en wel om een regel, een korte boodschap, te kunnen begrijpen, moet je over een nieuwe regel kunnen beschikken, die de eerste verklaart. We zetten ons zelf dan vast op een eindeloze reeks van regels, die telkens aangeeft hoe we de voorafgaande regel kunnen gebruiken. Je kunt het beter een ‘nachtmerrie paradox’ noemen. Zo erg is het echter niet, althans volgens Hofstadter, terecht zegt hij: ‘de praktijk is dat wij boodschappen (regels) herkennen en interpreteren, onze hersenen zijn kennelijk zo uitgerust dat wij sommige dingen als boodschappen herkennen en dat wij over het vermogen beschikken om ze te decoderen.’ De paradox gaat dus niet op zegt hij. Maar de praktijk toont aan dat zo’n aangeboren vermogen nogal eens tekortschiet. Paradoxen zijn eigenlijk ‘lastige luizen in de pels’, maar met dat verschil dat we ze niet als luizen moeten dooddrukken om ons ervan te ontdoen. Integendeel we moeten ze ontzenuwen, maar vooral de vraag stellen: ‘wat kunnen we ervan leren?’. Blijkbaar leggen ze problemen in ons redeneervermogen bloot. In de ‘regelparadox’ komt dat, weliswaar extreem, naar voren, want wat is de praktijk? Ook al stelt Hofstadter dat de hersenen in staat zijn om een boodschap als zodanig te herkennen en te decoderen, gebeurt het geregeld dat we in een bepaalde opeenvolging van boodschappen blijven steken en ‘geen regel’ vinden om zo’n opeenvolging verder uit te werken. Een regel of boodschap zou dan welkom zijn. Denk bijv. maar aan de quantumtheorie en aan de algemene relativiteitstheorie, menigeen zou wat blij zijn met een regel die beide doet samensmelten, of met meerdere regels voor ieder van deze twee die ertoe zouden leiden dat er een nieuwe omvattender theorie zou ontstaan die beide in zich opneemt 

Een vooruitblik op Kurt Gödel.

Sommige paradoxen leiden tot verrassende conclusies. Tot slot van dit deel willen we het nog over Kurt Gödel hebben. Hij kwam tot een stelling die hoop van veel logici om tot volledig afgeronde logische systemen te komen, in een klap deed vervliegen. Dat waren Hibert, Russell en Whitehead, die er naar streefden volledig formalistische systemen op te zetten, waarmee alles verklaard kon worden, in ieder geval in de wiskunde en de logica, dat mislukte. Gödels ‘eerste onvolledigheids’ stelling zette er een streep onder. Gödels stelling zegt dat in een rekenkundig systeem dat voldoende uitgebreid is, er uit dat systeem altijd een stelling kan worden afgeleid die niet binnen dat systeem bewezen kan worden. Het wordt ook wel zo geformuleerd: ‘In het geval dat een aritmetisch systeem (rekenkundig) S geen tegenstrijdigheden bevat, men de contradictieloosheid niet kan bewijzen binnen het systeem’ [4] Het lijkt dus eigenlijk een regelparadox, om het systeem te begrijpen d.w.z. te zien dat het klopt heb je een andere regel nodig die binnen het systeem niet te vinden is. Kun je nu zeggen, daar heb je ook niets aan, het is een valstrik net als de ‘regelparadox’? Oppervlakkig gezien zou je dat denken, Gödel verwijst echter naar een elementair uitgangspunt. Het komt erop neer dat wij in staat zijn binnen bepaalde grenzen afgeronde systemen kunnen bedenken, maar dat we telkens een hoger kennisniveau nodig hebben om zo’n afgerond systeem te verklaren. Hoewel dit net als bij de ‘regelparadox’ tot een oneindig hiërarchisch systeem leidt, is het toch niet zo dat dat negatief hoeft te zijn. We moeten alleen niet net als Hilbert en de anderen denken dat als we een afgerond systeem hebben, dat we er dan zijn. We hebben een omvattender systeem nodig om dat ogenschijnlijk afgeronde systeem te begrijpen. Zoiets als de opeenvolgende systemen van Copernicus, Galilei, Kepler, Newton en Einstein. Iedere theorie werd beter begrijpbaar door een volgend uitgebreider systeem, terwijl we met ieder vorig systeem nog kunnen rekenen en dat soms ook doen.

            Eerlijkheidshalve moeten we zeggen dat niet iedereen de consequenties van Gödel doortrekt, misschien omdat men denkt dat het rekenkundige systemen betreft en fysica er buiten staat. Dat is niet terecht, omdat uit de ‘getaltheorie’ alle wiskundige systemen afgeleid kunnen worden. En omdat zonder wiskundige systemen de fysica niet zou zijn wat ze is, kunnen we Gödel’s consequentie ook voor fysica en astronomie aanvaarden. Dat zal menigeen als een verschrikking overkomen, vooral diegenen die naar een ‘theorie van alles’ streven. Een ‘theorie van alles’ is duidelijk finitistisch en we zagen al dat de fundamenten daarvan ondergraven werden. Dat is niet erg, want dit te aanvaarden leidt tot nieuwe inzichten, terwijl een finitistisch standpunt ons vast pint op een dogmatisch systeem, dat dan tegen beter weten in als absolute waarheid wordt verkondigt. Waar de consequentie van Gödel uiteindelijk toe leidt zal in de loop van de bespreking duidelijk worden, eerst keren we terug naar directere fysica. In deel 4 gaan we dieper in op de Schrödingergolfvergelijking, in overeenstemming met de gedachte van Penrose dat deze op de een of andere manier moet worden aangepast.

---